viernes, 25 de septiembre de 2009

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL.

❶-Suponga que un sistema constituido por 100 componentes, cada uno de los cuales tiene una confiabilidad del 80%.Si esos componentes funcionan independientemente uno de los otros, y el sistema completo funciona correctamente cuando al menos 75 componentes funcionan.
Calcule la probabilidad de que el sistema funciona correctamente.

Resuelva considerando una aproximación con la distribución normal.
Formula: z=(x-μ)/σ
p=0.80 Binomial normal
q=0.20 a)p(x≥75) p(x≥74.5) ←corrección de continuidad.
n=100

E(x)=n.p=100(0.80)=80 v(x)=n.p.q=100(0.8)(0.2)=√16
σ=4

Aplicando la formula: z=(74.5-80)/4=-1.375 buscando en las tablas.

Redondeando: -1.38 =0.0838←valor de las tablas.

a)p(x≥75)=1-0.0838=0.9162
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❷- una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente el 5% de sus píldoras para el control natal tiene un ingrediente que está por debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 30 píldoras en una muestra de 1000 sea ineficaz?
a) Resuelva considerando una aproximación con la distribución normal.

Formula: z=(x-μ)/σ
p=0.05 Binomial normal
q=0.95 a)p(x>30) p(x>30.5) ←corrección de continuidad.
n=1000

E(x)=n.p=1000(0.05)=50 v(x)=n.p.q=1000(0.05)(0.95)=√47.5
σ=6.89

Aplicando la formula: z=(30.5-50)/6.89=-2.8301 buscando en las tablas.

Redondeando: -2.83 =0.0023←valor de las tablas.

a)p(x>30)=1-0.0023=0.9977


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❸- Un examen consta de 50 preguntas de cierto y falso. Si un alumno contesta las preguntas del examen al azar ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente:

a) más de 36 preguntas?

b) Entre 23 y 29 preguntas inclusive?

Formula: z=(x-μ)/σ
p=0.5 Binomial normal
q=0.5 a)p(x>36) p(x>36.5) ←corrección de continuidad.
n=50

E(x)=n.p=50(0.5)=25 v(x)=n.p.q=50(0.5)(0.5)=√12.5
σ=3.53

Aplicando la formula: z=(36.5-25)/3.5355=3.2527 buscando en las tablas.

Redondeando: 3.26 =0.9994←valor de las tablas.

a)p(x>36)=1-0.9994=0.0006





b) p(23≤X<≤29)

aplicamos el factor de corrección necesario al aproximar una distribución discreta por una continua.


z=(22.5-25)/3.5355=-0.7071

z=(29.5-25)/3.5355=1.2728


p(x<1.2728)-p(x<-0.7071)=


0.8985-0.2398=


0.6587
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❹-Un examen de opción múltiple consta de 30 preguntas con cinco respuestas cada una y solo una de ellas es la correcta, si el alumno no conoce la respuesta de 15 de ellas y las contesta al azar.

a)calcula la probabilidad de que conteste correctamente más de 25 preguntas ?

b) para aprobar este examen se requieren más de 20 preguntas correctas ¿cuál es la probabilidad de que apruebe?

Formula: z=(x-μ)/σ
p=1/5 Binomial normal
q=4/5 a)p(x>10) p(x>10.5) ←corrección de continuidad.
n=15

E(x)=n.p=15(1/5)=3 v(x)=n.p.q=15(1/5)(4/5)=√2.4
σ=1.54

Aplicando la formula: z=(10.5-3)/1.54=4.87 buscando en las tablas.

Redondeando: 4.87 =←valor de las tablas.
Nota: cuando el valor es mayor 3.59 el resultado de las tablas es igual a 1

a)p(x>10)=1-1=∅




b) a)p(x>5)

Formula: z=(x-μ)/σ
p=1/5 Binomial normal
q=4/5 a)p(x>5) p(x>5.5) ←corrección de continuidad.
n=15

E(x)=n.p=15(1/5)=3 v(x)=n.p.q=15(1/5)(4/5)=√2.4
σ=1.54


Aplicando la formula: z=(5.5-3)/1.54=1.6233 buscando en las tablas.

Redondeando: 1.62 =0.9474←valor de las tablas.

b)p(x>5)=1-0.9474=0.0526

viernes, 11 de septiembre de 2009

RESOLUCIÓN DEL LIMITE (x^2+h^2)-x^2/h