lunes, 24 de mayo de 2010

DISTRIBUCION DE POISSON

1- Con el objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente cierta compañía acostumbra determinar el número de manchas en la superficie, considerando el lente defectuoso, si 3 o más de tales manchas, asperezas y otro tipo de defectos aparecen en el. Si el número de manchas en una superficie de 1cm^2 sigue una distribucíón de Poisson con una tasa media de 2 asperezas por cm^2.

1.- Calcula la probabilidad de que un lente redondo con un diámetro de 1cm se le cataloge como bueno?

Tasa media = 2 manchas por cm²

Una lente redonda de diametro 1, tiene un radio de 0.5,la superfice de un circulo es

S=πr²

S=3.141592654*0.5² = 0.7854 cm²

Si la tasa media es de 2 manchas/cm² en una superficie de 0.7854 cm² se esperan de promedio 2*0.7854 = 1.5716 manchas por cada 0.7854 cm² (lente de 1 cm de diametro), es decir el parametro λ tomará el valor de

λ=1.5716

Si se considera defectuoso si hay 3 o más manchas entonces , para que sea bueno debe tenor menos de 3 manchas es decir 0,1,o 2 manchas.

Es decir tenemos que calcular la probabilidad

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

La formula de Poisson es

P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!

P(X=x) = exp(-1.5716)*1.5716^x/x!

P(X=0) = exp(-1.5716)*1.5716^0/0! = 0.2077
P(X=1) = exp(-1.5716)*1.5716^1/1! = 0.3264
P(X=2) = exp(-1.5716)*1.5716^2/2! = 0.2565

0.2077 + 0.3264 + 0.2565 = 0.7907

Por lo tanto P(X<3) = 0.7907 y la probabilidad de que la lente se catalogue como correcta es de

0.7907 = 79.07%

DISTRIBUCION POISSON

1-Si el número de coches que lleguan a un estacionamiento es de 8 por hora y sus llegadas siguen el proceso de Poisson.

1.-¿Cuál es la probabilidad de que en un período de 10 minutos lleguen al estacionamiento?

a) Entre 3 y 6 (inclusive) automóviles?
b) Más de 2 automóviles?

λ=8 coches por hora,

1 hora =60 mintuos , tiene 6 periodos de 10 minutos, por lo tanto el promedio de coches por cada 10 minutos es

λ=8/6 = 1.3333

P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!

P(X=x) = exp(-1.3333)*1.3333^x/x!

a)

P(3<=X<=6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

P(X=3) = exp(-1.3333)*1.3333^3/3! = 0.1041
P(X=4) = exp(-1.3333)*1.3333^4/4! = 0.0347
P(X=5) = exp(-1.3333)*1.3333^5/5! = 0.0093
P(X=6) = exp(-1.3333)*1.3333^6/6! = 0.0021

Por lo tanto sumando las probabilidades , P(3<=X<=6) = 0.1502

b)

P(X>2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1)

P(X=0) = exp(-1.3333)*1.3333^0/0! = 0.2636
P(X=1) = exp(-1.3333)*1.3333^1/1! = 0.3515

P(X>2) = 1-0.2636-0.3515 = 0.3849

Ejercicios de Matemáticas HIPOTESIS

1- De acuerdo con las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, los alumnos de segundo grado de secundaria deberían promediar 73.2 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 alumnos de segundo grado de secundaria seleccionados al azar de cierto distrito escolar promedian 76.7, (a) pruebe la hipótesis nula m = 73.2 contra la hipótesis alternativa m > 73.2 en el nivel 0.01 de significancia.

Se calcula el estadístico

Z=(X-media)/(desv/√n)

donde

X=76.7 <-- Media muestral media=73.2 desv=8.6 n=45 Z=(76.6-73.2) / (8.6/√45) = 2.6521 Calculamos el p-valor P(Z>2.6521) = 1-P(Z<2.6521) 9960 =" 0.0040" m="73.2">73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.

Ejercicios de Matemáticas HIPOTESIS

1- De acuerdo con las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, los alumnos de segundo grado de secundaria deberían promediar 73.2 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 alumnos de segundo grado de secundaria seleccionados al azar de cierto distrito escolar promedian 76.7, (a) pruebe la hipótesis nula m = 73.2 contra la hipótesis alternativa m > 73.2 en el nivel 0.01 de significancia.

Se calcula el estadístico

Z=(X-media)/(desv/√n)

donde

X=76.7 <-- Media muestral
media=73.2
desv=8.6
n=45

Z=(76.6-73.2) / (8.6/√45) = 2.6521

Calculamos el p-valor

P(Z>2.6521) = 1-P(Z<2.6521) = 1 - 0.9960 = 0.0040

Como el p-valor 0.0040 es menor que la significancia 0.01, entonces rechazamos la hipotesis nula m=73.2 y aceptamos la alternativa m>73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.

EJERCICIOS

1- A un dependiente de un autolavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12. ¼, ¼, 1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo específico.

xi --- pi
5 --- 1/12
7 --- 1/12
9 --- 1/4
11 --- 1/4
13 --- 1/6
17 --- 1/6

E(X)=Suma(xi*pi) =

5*1/12 + 7*1/12 + 9*1/4 + 11*1/4 + 13*1/6 + 17*1/6 = 11

La ganancia esperada es $11

2- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a.- Determine la función de probabilidad de X. b.- ¿Cual es el valor de P ( X ≤ 1)?

2-

La probabilidad de abrir a la primera es 1/5

La probabilidad de abrir a la segunda es la probabilidad de no abrir - abrir

4/5 * 1/4 =1/5

ya que primero tenemos 5 llaves de las que 4 no abren 4/5 y despues para la segunda tenemos 4 de las que 1 abre el candado 1/4

de la misma manera para

3 intentos --> 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5

4 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

5 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

P(X)=1/5

P(X<=1) = P(X=1) = 1/5

3-Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la distribución de probabilidad para la variable X que representa el numero de balotas verdes.

3)

p=2/(2+4) = 1/3 (probabilidad de balotas verdes)

la distribución de X es una binomial de n=3 y p=1/3

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

P(X=x) = C(3,x) * (1/3)^x * 2/3)^(3-x)

DISTRIBUCION BINOMIAL

Un jugador de basketball, anota 7 de cada 10 tiros libresque ejecuta. Si durante un partido, ejecuta 9 tiros libros hallar la probabilidad:

que falle 3 tiros libres
que anote todos
que anote exactamente 5 tiros

SUCESOS

1- ¿la probabilidad de que un dia cualquiera llueva, es del 20 %?¿cual es la probabilidad de que llueva?¿que no llueva?

Tenemos el suceso:

A : Llueva

P(A)=20% =0.20

La probabildiad que no llueva es la probabilidad contraria

P(No llueva) = 1-P(A)=1-0.20 = 0.80 --> 80%


Ejercicios de Matemáticas INTERVALO DE CONFIANZA

1- la division de creditos deu n banco comercial grande desea estimar un nivel de confianza del 99% la proporcion de sus creditos que estan en mora. Si el ancho del intervalo es de 7% ¿cuantos creditos deben revisarse?¿Cual es el error tolerable?

Confianza 99% --> Z=2.58

Ancho del intervalo 7% = 0.07 --> d=0.07/2 = 0.035

p es desconocida, tomamos p=0.5

n>=Z²p(1-p)/d²

n>=2.58²*0.5*0.5/0.035² = 1358.45

redondeando a enteros,

n>=1359

Es decir necesitamos un minimo de 1359 creditos para revisar.

DISTRIBUCION BINOMIAL

Un fabricante de calzado, produce 2% de defectuosos. su un cliente hace un pedido de 500 pares de calzado y para analizar el pedido , toma una muestra de 12 pares. halla la probabilidad que en la muestra obtenga:

exactamente 3 pares defectuosos
al menos 3 pares defectuosos
a lo sumo 4 pares defectuosos.

TEOREMA DE BAYES

1- en cierta cuidad el 40% de la poblacion tiene cabello castaño, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tien los ojos y cabello castaño. si se escoje una persona al asar calcular :

a) si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad q tambien tenga ojos castaños
b) si tien ojos castaños, cual es la pobabilidad de q tenga cabello castaño
c) cual es la probabilidad de q tenga cabellos y ojos castaños.

Eventos:

C --> Cabello castaño
O --> Ojos castaños.

Nos dicen que:

P(C)=0.40
P(O)=0.25
P(C∩O) = 0.15

a)

Nos piden P(O|C)

P(O|C) = P(C∩O) / P(C) = 0.15/0.40 = 0.375

b)

Nos piden P(C|O) =

P(C|O) = P(C∩O) / P(O) = 0.15/0.25 = 0.6

c)

P(C∩O)= 0.15 según el enunciado.

Ejercicios de Matemáticas INTERVALOS DE CONFIANZA

1- Sabemos que a la población la distribución de la variable HAD sigue una ley normal N (mu=5, sigma=2,6).

Necesito calcula si ******* muestras de tamaño 150 sujetos, estimar la media poblacional de la variable HAD con un nivel de confianza del 95% (alfa=5%), y con un nivel de confianza del 99% (alfa=1%). ¿Cambian los límites del intervalo de confianza? ¿Por que?.

Los intervalos son de la forma

µ ± z(1-α/2) * σ/√n

donde

n=150
µ=5
σ=2.6

Para 95% --> α=0.05 --> P(Z z=1.96
Para 99% --> α=0.01 --> P(Z z=2.58

Intervalo del 95%

5 ± 1.96 * 2.6/√150

5 ± 0.4161

(4.5839 , 5.4161)

Intervalo del 99%

5 ± 2.58 * 2.6/√150

5 ± 0.5477

(4.4523 , 5.5477)

Cambian los limites, debido a que al aumentar la confianza aumenta el valor z de 1.96 a 2.58, con lo que el intervalo gana en amplitud.

TEOREMA DE BAYES

1- Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?

Eventos:

D --> Sufrir deterioro --> D' Estar sano
T --> Trastorno detectado

Nos dicen que

P(D)=0.20 --> P(D') = 0.80
P(T|D)=0.80
P(T|D') = 0.03

Nos piden calcular P(D|T) :

Por el teorema de Bayes:

P(D|T) = P(T|D)*P(D) / { P(T|D)*P(D) + P(T|D')*P(D') }

P(D|T) = 0.80*0.20 / { 0.80*0.20 + 0.03*0.80 }

P(D|T) = 0.8696

Ejercicios de Matemáticas INTERVALOS DE CONFIANZA

1- Sea (b,c) un intervalo de confianza al 100(1-a)% para la media de la v.a X entonces:

A. Se pude afirmar, con una confianza del 100(1-a)% que la media de X está por encima de b y por debajo de c.
B. se puede afirmar que b y c son los valores minimo y maximo respectivamente de la v.a. X.
C. se puede afimar que los valores de la v.a. X estan entre b y c.
D. Se puede afirmar que b y c son los minimo y maximo de la media de X respectivamente.

Nota la (1-a) es 1 menos alfa.}

a) No, lo que podemos afirmar es que de las veces que calculemos el intervalo de confianza con datos de esa población, la verdadera media poblacional estará entre b y c el 100(1-a)% de las veces.

b) No, son valores minimos y maximos del intrvalo de confianza pero habra datos por debajo de b y por sobre de c

c) No, b y c son los extremos del intervalo no de los datos.

d) No, b y c son los extremos del intervalo de la media no sus valores minimos.

DISTRIBUCION BINOMIAL

1-Un examen de conocimiento consite de 10 preguntas independientes cada una con 5 respuestas donde solo una es la correcta. Si usted contesta al azar las 10 preguntas, ¿cual es la probabildad?

a. de q acierte las 10 preguntas.
b. de q acierte al menos una de las respuestas.
c. de q acierte las 3 primeras respuestas

COMBINACION

1.- Una secretaria introduce al azar 3 cartas diferentes en 3 sobres diferentes. Se sabe que cada carta solo tienen un sobre correcto. Sea X el número de cartas introducidas correctamente:

a) Halla la distribución de probabilidad de X.
b) Calcula el valor esperado de X.

obtener las probabilidades usando la combinatoria.

Si llamamos 1,2,3 a las cartas y el sobre lo representamos por la posicion (posicion 1 --> sobre 1, posicion 2 ---> sobre 2, posicion 3 ---> sobre 3). Se pueden producir los siguientes 6 casos (permutaciones de 3 elementos = 3!=3*2*1=6) , en los que indicamos las cartas introducidas correctos (se considera que es correcta si la carta 1 esta en la primera posición, si la 2 en la segunda y si la 3 en la tercera:

123 --> 3
132 --> 1
213 --> 1
231 --> 0
312 --> 0
321 --> 1

Fijate en que no existen los 2 aciertos ya que si introducimos dos cartas en sus sobres correctamente la carta que queda necesariamente esta correctamente introducida:

La distribución de probabilidad es

x--- f(x)

0 --- 2/6 = 1/3
1 --- 3/6 =1/2
3 --- 1/6 = 1/6

a)

x --- f(x)

0 --- 1/3
1 --- 1/2
3 --- 1/6

b)

El valor esperado es

E(x) = suma(x*f(x))

E(X)= 0*1/3 + 1*1/2 + 3*1/6

E(X) = 1

Es decir el numero esperado de cartas correctamente ensobradas es 1

Ejercicios de Matemáticas INTERVALOS DE CONFIANZA

1-Sabemos que al lanzar al aire 100 monedas, en el 95% de los casos, la proporción de obtener "cara" está en el intervalo [ 0,1216 ; 0,2784]. Hallar la probabilidad p de un UNA de esas monedas caiga "cara" y comprueba que el intervalo elegido es correcto.

Ya que es un intervalo del 95% la formula del intervalo es

p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)

El valor de p es siempre el valor medio entre los extremos del intervalo:

p=(0,1216+0,2784)/2 = 0.2 --> probabilidad que una de las monedas sea cara.

Ahora comprobamos si el intervalo es correcto, teniendo en cuenta que p=0.2 y n=100

p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)

0.2 ± 1.96*√(0.2*(1-0.2)/100)

0.2 ± 1.96*√0.0016

0.2 ± 1.96*0.04

0.2 ± 0.0784

(0.2-0.0784 , 0.2+0.0784)

(0.1216 , 0.2784)

Comprobamos que en efecto el intervalo es correcto.

Ejercicios de Matemáticas MEDIA MUESTRAL

1-Un inspector federal de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en estas. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es 750g con una desviación estándar de 5g. El inspector selecciona al azar 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748g.
Bajo estas condiciones, ¿Qué tan probable es tener un peso de 748g o menos? ¿Como puede interpretarse este resultado?

Debemos calcular

P(X<=748)

Estandarizamos con Z=(X-media)/(desv/√n)

X=748 --> Z=(748-750)/(5/√100) = -4

P(X<=748) = P(Z<-4) según las tablas

P(Z<-4) = 0.000031671

Es decir es una probabilidad muy muy baja cercana al 0, por lo que debe interpetarse que si la el promedio de las cajas es 748, no es posible mantener la afirmacion del gerente que asegura que el peso promedio es de 750. Por lo tanto la afirmacion del gerente es erronea.

jueves, 20 de mayo de 2010

LIMITES

LIMITE

LIMITE DE FUNCIONES RACIONALES

ASINTOTAS DE UNA FUNCION,ANALISIS DE LIMITE UNILATERAL

LIMITE INDETERMINADO

Resolver los siguientes límites:
Nota general: cuando tratamos de aplicar directamente el límite a la función dada y nos da la forma indeterminada 0/0, esto nos sugiere que, mediante manipulaciones algebraicas convenientes, podemos hallar, tanto en el numerador como en el denominador, el factor de la forma (x - a), y proceder a cancelarlo.

LIMITE EN EL INFINITO

ASINTOTAS Y DISCONTINUIDAD

SOLUCION DEL LIMITE POR 2 METODOS ALGEBRAICAMENTE Y LEY DE HOPITAL

LIMITE CON INDETERMINACION

LIMITE EN EL INFINITO

LIMITE DE UN COCIENTE

LIMITE CON VALOR ABSOLUTO

Problema 01:

LIMITE CON INDETERMINACION

LIMITE APLICANDO LA REGLA DE HOPITAL

LIMITE CON INDETERMINACION

Demostrar que el límite cuando x tiende a 0 de sen(x)/x es igual a 1.

CONTINUIDAD

LIMITE DE UNA FUNCION

LIMITE UNILATERAL

ESTIMACION DE UN LIMITE

LIMITE CON INDETERMINACION

TEOREMAS DE LIMITES

LIMITE APLICACION DIRECTA

LIMITE CON INDETERMINACION

LIMITE EN MENOS INFINITO

GRAFICA DE UNA FUNCION

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

LIMITE INFINITO

CONTINUIDAD

FUNCION DEL LIMITE

LIMITE DE UNA FUNCION INDETERMINADA

LIMITE APLICANDO LA REGLA DE HOPITAL

LIMITE EN EL INFINITO

LIMITE DE UNA FUNCION RACIONAL