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sábado, 4 de diciembre de 2010

DISTRIBUCION DE POISSON(2024) Ejemplos


 😆
👉DISTRIBUCION DE POISSON: Este modelo  estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervalos continuos, de tiempo,áreas,volúmenes, etc.
Este modelo tiene muchas aplicaciones. Se emplea generalmente en donde, se desea optimizar los tiempos, tanto de espera como de servicio, a este tipo de problemas se les estudia en el área de investigación de operaciones en Lineas de Espera o Teorías de Colas.

Condiciones que debe cumplir un proceso de poisson

1- Los resultados de intervalos que no tienen puntos en común, son independientes.
Esto es, los resultados que ocurren en  son independientes de los que transcurren en el intervalo  cuando los intervalos son disjuntos. Se dice que el experimento de poisson en su ejecución no tiene memoria.

2- La probabilidad, de que en un resultado ocurra en un intervalo de tiempo mucho muy pequeño

  es una cantidad de orden  . Esto es, la probabilidad de obtener exactamente  un resultado en un intervalo, suficientemente pequeño, es proporcional a la longitud del intervalo.

3- La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en el transcurso del intervalo 
    es una cantidad mucho mas pequeña en comparación con  .
 
    Esto significa que la probabilidad de obtener 2 ó mas resultados en un intervalo sumamente                pequeño es despreciable.



EJERCICIOS RESUELTOS

👉     Problema 01:          😆

En una clínica el promedio de atención es 16 pacientes por 4 horas, encuentre la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas y que en 180 minutos se atiendan 12 pacientes.

Usamos la distribución de Poisson


👉     Problema 02:          😆


👉     Problema 03:          😆

👉     Problema 04:          😆

Los reportes de crímenes recientes indican que 3.2 de los robos de vehículos motorizados ocurren cada minuto en estados unidos. Suponga que la distribución de los robos por minuto puede calcularse con la distribución de probabilidad de poisson. 

 a)¿calcule la probabilidad de que ocurran cuatro robos exactamente en un minuto.

 b)¿cuál es la probabilidad de que en un cuarto de hora cualquiera ocurran exactamente 45 robos?

👉     Problema 05:          😆
Suponga que la agencia de protección ambiental (APA) es quien establece los estándares para Garantizar la calidad de las emisiones de aire por parte de las empresas. El límite máximo Permitido de cobre en las emisiones es de 10 partículas por millón y usted trabaja en una empresa Donde el valor medio en sus emisiones es de cuatro partículas por millón. 

 a) Si se define X como el número de partículas por millón en una muestra ¿Cuál es la desviación estándar de X en su empresa?

 b) Si el número medio de partículas por millón en su empresa es efectivamente de cuatro por millón ¿Tendría usted temor de que la agencia lo multe por contaminar el aire?

DISTRIBUCION DE POISSON (2024) Ejemplos

-Scott apuesta el numero 7 para cada uno de los 200 giros de una ruleta. Como la probabilidad de que salga 7 es 1/38, el espera ganar aproximadamente 5 veces.
a) Calcule la probabilidad de que no tenga ningun triunfo en los 200 giros.
b) Calcule la probabilidad de que almenos tenga un triunfo en los 200 giros.
c) Scott perdera dinero si el numero de triunfos es 0,1,2,3,4 o 5. Calcule la probabilidad de que Scott pierda dinero despues de 200 giros.
d) Cual es la probabilidad de que scott obtenga alguna ganancia despues de 200 giros.

a)

La probabilidad de no tener trunfo es 1-1/38 = 37/38, en 200 giros:

(37/38)^200 = 0.0048

b)

Es la probabilidad contraria a la anterior

1-0.0048 = 0.9952

c)

n=200
p=1/38

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

P(X=x) = C(200,x) * 1/38^x * 37/38^(200-x)


P(X=0) = C(200,0) * 1/38^0 * 37/38^(200-0) = 0.0048
P(X=1) = C(200,1) * 1/38^1 * 37/38^(200-1) = 0.0261
P(X=2) = C(200,2) * 1/38^2 * 37/38^(200-2) = 0.0702
P(X=3) = C(200,3) * 1/38^3 * 37/38^(200-3) = 0.1251
P(X=4) = C(200,4) * 1/38^4 * 37/38^(200-4) = 0.1666
P(X=5) = C(200,5) * 1/38^5 * 37/38^(200-5) = 0.1765

La suma de las probabilidades es 0.5693

d) Es la probabilidad contraria a la anterior

1-0.5693 = 0.4307

lunes, 24 de mayo de 2010

DISTRIBUCION DE POISSON (2024) Ejemplos

1- Con el objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente cierta compañía acostumbra determinar el número de manchas en la superficie, considerando el lente defectuoso, si 3 o más de tales manchas, asperezas y otro tipo de defectos aparecen en el. Si el número de manchas en una superficie de 1cm^2 sigue una distribucíón de Poisson con una tasa media de 2 asperezas por cm^2.

1.- Calcula la probabilidad de que un lente redondo con un diámetro de 1cm se le cataloge como bueno?

Tasa media = 2 manchas por cm²

Una lente redonda de diametro 1, tiene un radio de 0.5,la superfice de un circulo es

S=πr²

S=3.141592654*0.5² = 0.7854 cm²

Si la tasa media es de 2 manchas/cm² en una superficie de 0.7854 cm² se esperan de promedio 2*0.7854 = 1.5716 manchas por cada 0.7854 cm² (lente de 1 cm de diametro), es decir el parametro λ tomará el valor de

λ=1.5716

Si se considera defectuoso si hay 3 o más manchas entonces , para que sea bueno debe tenor menos de 3 manchas es decir 0,1,o 2 manchas.

Es decir tenemos que calcular la probabilidad

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

La formula de Poisson es

P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!

P(X=x) = exp(-1.5716)*1.5716^x/x!

P(X=0) = exp(-1.5716)*1.5716^0/0! = 0.2077
P(X=1) = exp(-1.5716)*1.5716^1/1! = 0.3264
P(X=2) = exp(-1.5716)*1.5716^2/2! = 0.2565

0.2077 + 0.3264 + 0.2565 = 0.7907

Por lo tanto P(X<3) = 0.7907 y la probabilidad de que la lente se catalogue como correcta es de

0.7907 = 79.07%

DISTRIBUCION POISSON (2022) Ejemplos

1-Si el número de coches que lleguan a un estacionamiento es de 8 por hora y sus llegadas siguen el proceso de Poisson.

1.-¿Cuál es la probabilidad de que en un período de 10 minutos lleguen al estacionamiento?

a) Entre 3 y 6 (inclusive) automóviles?
b) Más de 2 automóviles?

λ=8 coches por hora,

1 hora =60 mintuos , tiene 6 periodos de 10 minutos, por lo tanto el promedio de coches por cada 10 minutos es

λ=8/6 = 1.3333

P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!

P(X=x) = exp(-1.3333)*1.3333^x/x!

a)

P(3<=X<=6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

P(X=3) = exp(-1.3333)*1.3333^3/3! = 0.1041
P(X=4) = exp(-1.3333)*1.3333^4/4! = 0.0347
P(X=5) = exp(-1.3333)*1.3333^5/5! = 0.0093
P(X=6) = exp(-1.3333)*1.3333^6/6! = 0.0021

Por lo tanto sumando las probabilidades , P(3<=X<=6) = 0.1502

b)

P(X>2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1)

P(X=0) = exp(-1.3333)*1.3333^0/0! = 0.2636
P(X=1) = exp(-1.3333)*1.3333^1/1! = 0.3515

P(X>2) = 1-0.2636-0.3515 = 0.3849

lunes, 17 de mayo de 2010

DISTRIBUCION DE POISSON

1. las llamadas de servicio entran a un centro de manteniemiento de acuerdo con un proceso de poisson y en promedio entran 2.7 llamadas por minuto. encontrar la probabilidad de que:
a)no mas de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera
b)menos de 2 llamadas entren en un minutocualquiera
c)mas de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos

λ=2.7

P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!

a)

P(X<=4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=0) = exp(-2.7)*2.7^0/0! = 0.0672
P(X=1) = exp(-2.7)*2.7^1/1! = 0.1815
P(X=2) = exp(-2.7)*2.7^2/2! = 0.2450
P(X=3) = exp(-2.7)*2.7^3/3! = 0.2205
P(X=4) = exp(-2.7)*2.7^4/4! = 0.1488

P(X<=4) = 0.8629

b)

P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

P(X=0) = exp(-2.7)*2.7^0/0! = 0.0672
P(X=1) = exp(-2.7)*2.7^1/1! = 0.1815

P(X<2) = 0.2484

c)

λ=2.7 por minuto * 5 minutos --> λ=13.5

P(X>10) = 1-P(X<=10) = 1- P(X=0) - P(X=1) - ... - P(X=10)

P(X=0) = exp(-13.5)*13.5^0/0! = 0.000001
P(X=1) = exp(-13.5)*13.5^1/1! = 0.000018
P(X=2) = exp(-13.5)*13.5^2/2! = 0.000124
P(X=3) = exp(-13.5)*13.5^3/3! = 0.000562
P(X=4) = exp(-13.5)*13.5^4/4! = 0.001897
P(X=5) = exp(-13.5)*13.5^5/5! = 0.005123
P(X=6) = exp(-13.5)*13.5^6/6! = 0.011526
P(X=7) = exp(-13.5)*13.5^7/7! = 0.022229
P(X=8) = exp(-13.5)*13.5^8/8! = 0.037512
P(X=9) = exp(-13.5)*13.5^9/9! = 0.056268
P(X=10) = exp(-13.5)*13.5^10/10! = 0.07596

Por lo tanto

P(X>10) = 1-P(X<=10) = 1- P(X=0) - P(X=1) - ... - P(X=10) = 0.7888

P(X>10) = 0.7888