1.- La revisión aduanal se efectúa en el aeropuerto aleatoriamente de la siguiente manera: En la salida se encuentra un semáforo si al pasar la personas se activa la luz roja se realizará la revisión; en caso de activarse la verde el viajero sale tranquilamente sin revisión.
a) La luz roja sale con una frecuencia del 10%, si se consideran 18 viajeros, ¿Cuál es la probabilidad de que más de uno y a lo más 4 sean revisados?
b) Si la luz roja aparece con una frecuencia del 15%, ¿Cuál es la probabilidad de que antes de la cuarta persona que pase en el semáforo, se tenga la primera que va a ser revisada?
1)
a)
Utilizamos la distribución binomial.
p=0.10 --> Probabilidad de revision
n=18
X --> Numero de personas revisadas
La formula es
P(X=x) =C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
P(X=x) =C(18,x) * 0.10^x * 0.90^(18-x)
Debemos calcular la probabilidad
P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=1) =C(18,1) * 0.10^1 * 0.90^(18-1) = 0.3002
P(X=2) =C(18,2) * 0.10^2 * 0.90^(18-2) = 0.2835
P(X=3) =C(18,3) * 0.10^3 * 0.90^(18-3) = 0.1680
P(X=4) =C(18,4) * 0.10^4 * 0.90^(18-4) = 0.0700
P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(1<=X<=4) = 0.8217
b)
La fución de probabilidad acumulada de la distribución geometrica ( P(X=x) = p(1-p)^(x-1) es
P(X<=n) = 1 - (1-p) ^n
n=4
p=0.15
P(X<=4) = 1 - (1-0.15)^4 = 0.4780
2.- Suponga que una compañía de seguros de vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios realizados muestran que la probabilidad de que un hombre de 42 años fallezca en un cierto año es de 0.001, calcule la probabilidad de que la compañía pague durante un año dado:
2)
p=0.001
n=5000
Debemos calcular la probabilidad P(X>=1), es decir la probabilidad que fallezca algun hombre y la compañía pague. Esta probabilidad es lo contraria a que no pague, es decir que no fallezca ninguno de los 5000 hombres, esta probabilidad es
P(X=0) = (1-p)^n = (1-0.001)^5000 = 0.0067
Por lo tanto la probabilidad que fallezca alguno y la compañía tenga que pagar es
P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-(1-p)^n = 1-0.0067 = 0.9932
3- Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?
Eventos:
D --> Sufrir deterioro --> D' Estar sano
T --> Trastorno detectado
Nos dicen que
P(D)=0.20 --> P(D') = 0.80
P(T|D)=0.80
P(T|D') = 0.03
Nos piden calcular P(D|T) :
Por el teorema de Bayes:
P(D|T) = P(T|D)*P(D) / { P(T|D)*P(D) + P(T|D')*P(D') }
P(D|T) = 0.80*0.20 / { 0.80*0.20 + 0.03*0.80 }
P(D|T) = 0.8696
