1. las llamadas de servicio entran a un centro de manteniemiento de acuerdo con un proceso de poisson y en promedio entran 2.7 llamadas por minuto. encontrar la probabilidad de que:
a)no mas de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera
b)menos de 2 llamadas entren en un minutocualquiera
c)mas de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos
λ=2.7
P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!
a)
P(X<=4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=0) = exp(-2.7)*2.7^0/0! = 0.0672
P(X=1) = exp(-2.7)*2.7^1/1! = 0.1815
P(X=2) = exp(-2.7)*2.7^2/2! = 0.2450
P(X=3) = exp(-2.7)*2.7^3/3! = 0.2205
P(X=4) = exp(-2.7)*2.7^4/4! = 0.1488
P(X<=4) = 0.8629
b)
P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
P(X=0) = exp(-2.7)*2.7^0/0! = 0.0672
P(X=1) = exp(-2.7)*2.7^1/1! = 0.1815
P(X<2) = 0.2484
c)
λ=2.7 por minuto * 5 minutos --> λ=13.5
P(X>10) = 1-P(X<=10) = 1- P(X=0) - P(X=1) - ... - P(X=10)
P(X=0) = exp(-13.5)*13.5^0/0! = 0.000001
P(X=1) = exp(-13.5)*13.5^1/1! = 0.000018
P(X=2) = exp(-13.5)*13.5^2/2! = 0.000124
P(X=3) = exp(-13.5)*13.5^3/3! = 0.000562
P(X=4) = exp(-13.5)*13.5^4/4! = 0.001897
P(X=5) = exp(-13.5)*13.5^5/5! = 0.005123
P(X=6) = exp(-13.5)*13.5^6/6! = 0.011526
P(X=7) = exp(-13.5)*13.5^7/7! = 0.022229
P(X=8) = exp(-13.5)*13.5^8/8! = 0.037512
P(X=9) = exp(-13.5)*13.5^9/9! = 0.056268
P(X=10) = exp(-13.5)*13.5^10/10! = 0.07596
Por lo tanto
P(X>10) = 1-P(X<=10) = 1- P(X=0) - P(X=1) - ... - P(X=10) = 0.7888
P(X>10) = 0.7888
lunes, 17 de mayo de 2010
COMBINACION(2022) Ejemplos
1) diana tiene 12 libros pero en el estante solo caben 7 ¿de cuantas formas se pueden ordenar los libros en el estante?
Primero calculamos las combinaciones de 12 libros tomados de 7 en 7
C(12,7) = 12!/((12-7)!*7!) = 792 maneras de colocar los 7 libros
Pero cada una de estas maneras los libros el orden de los libros es diferente por lo que para cada manera hay 7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 maneras de ordenar los libros.
Por lo tanto las formas posibles son
792*5040 = 3991680 maneras diferentes de colocar 7 libros en un estante a partir de los 12 libros.
____
Hay una formula que permite expresar esto directamente : las variaciones con repetición:
VR(12,7) = 12!/(12-7)! = 3991680 como antes.
Primero calculamos las combinaciones de 12 libros tomados de 7 en 7
C(12,7) = 12!/((12-7)!*7!) = 792 maneras de colocar los 7 libros
Pero cada una de estas maneras los libros el orden de los libros es diferente por lo que para cada manera hay 7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 maneras de ordenar los libros.
Por lo tanto las formas posibles son
792*5040 = 3991680 maneras diferentes de colocar 7 libros en un estante a partir de los 12 libros.
____
Hay una formula que permite expresar esto directamente : las variaciones con repetición:
VR(12,7) = 12!/(12-7)! = 3991680 como antes.
DISTRIBUCION BINOMIAL
1. En un sistema bancario, 10% de las veces se excede el tiempo promedio de atención al cliente. Para los siguientes 10 clientes encuentra:
a. La probabilidad de que al menos 6 excedan el tiempo promedio de atención.
b. Haya clientes que excedan el tiempo promedio de atención.
c. Más de dos y menos de 7 excedan este tiempo.
d. La probabilidad de que menos de 5 excedan el tiempo de atención.
1)
Es un caso de distribución binomial con
n=10
p=0.10
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
P(X=x) = C(10,x) * 0.10^x * 0.90^(10-x)
a)
Debemos calcular P(X>=6) = 1- P(X<=5) = 1-P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3) - P(X=4) -P(X=5)
P(X=0) = C(10,0) * 0.10^0 * 0.90^(10-0) = 0.3487
P(X=1) = C(10,1) * 0.10^1 * 0.90^(10-1) = 0.3874
P(X=2) = C(10,2) * 0.10^2 * 0.90^(10-2) = 0.1937
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
P(X=5) = C(10,5) * 0.10^5 * 0.90^(10-5) = 0.0015
Por lo tanto P(X>=6) = 1-suma de las probabilidades anteriores =
1-0.9999 = 0.0001
b)
Debemos calcular P(X>1) = 1-P(X=0) =
1 - C(10,x) * 0.10^x * 0.90^(10-x) =
1 - 0.90^10 = 0.6513
c)
Debemos calcular P(2< X <7) =P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
P(X=5) = C(10,5) * 0.10^5 * 0.90^(10-5) = 0.0015
P(X=6) = C(10,6) * 0.10^6 * 0.90^(10-6) = 0.0001
Por lo tanto P(2< X <7) = Suma probabilidades anteriores = 0.0702
d)
Debemos calcular P(X<5)
P(X<5)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=0) = C(10,0) * 0.10^0 * 0.90^(10-0) = 0.3487
P(X=1) = C(10,1) * 0.10^1 * 0.90^(10-1) = 0.3874
P(X=2) = C(10,2) * 0.10^2 * 0.90^(10-2) = 0.1937
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
Por lo tanto
P(X<5) = suma de las probabilidades anteriores = 0.9984
a. La probabilidad de que al menos 6 excedan el tiempo promedio de atención.
b. Haya clientes que excedan el tiempo promedio de atención.
c. Más de dos y menos de 7 excedan este tiempo.
d. La probabilidad de que menos de 5 excedan el tiempo de atención.
1)
Es un caso de distribución binomial con
n=10
p=0.10
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
P(X=x) = C(10,x) * 0.10^x * 0.90^(10-x)
a)
Debemos calcular P(X>=6) = 1- P(X<=5) = 1-P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3) - P(X=4) -P(X=5)
P(X=0) = C(10,0) * 0.10^0 * 0.90^(10-0) = 0.3487
P(X=1) = C(10,1) * 0.10^1 * 0.90^(10-1) = 0.3874
P(X=2) = C(10,2) * 0.10^2 * 0.90^(10-2) = 0.1937
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
P(X=5) = C(10,5) * 0.10^5 * 0.90^(10-5) = 0.0015
Por lo tanto P(X>=6) = 1-suma de las probabilidades anteriores =
1-0.9999 = 0.0001
b)
Debemos calcular P(X>1) = 1-P(X=0) =
1 - C(10,x) * 0.10^x * 0.90^(10-x) =
1 - 0.90^10 = 0.6513
c)
Debemos calcular P(2< X <7) =P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
P(X=5) = C(10,5) * 0.10^5 * 0.90^(10-5) = 0.0015
P(X=6) = C(10,6) * 0.10^6 * 0.90^(10-6) = 0.0001
Por lo tanto P(2< X <7) = Suma probabilidades anteriores = 0.0702
d)
Debemos calcular P(X<5)
P(X<5)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=0) = C(10,0) * 0.10^0 * 0.90^(10-0) = 0.3487
P(X=1) = C(10,1) * 0.10^1 * 0.90^(10-1) = 0.3874
P(X=2) = C(10,2) * 0.10^2 * 0.90^(10-2) = 0.1937
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
Por lo tanto
P(X<5) = suma de las probabilidades anteriores = 0.9984
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
2. El tiempo de atención a clientes (en minutos) en un call center está modelado por la función de densidad
para x > 5. La función de probabilidad es 1/6*e^(-1/6*x). Calcula la probabilidad de que:
a. Un cliente tarde menos de 6 minutos en ser atendido.
b. Un cliente tarde entre 6.5 y 7.2 minutos en ser atendido.
c. ¿Cuál es el valor arriba del cual está 5% los clientes que más tardan en ser atendidos?
2)
f(x) = 1/6*e^(-1/6*x) para X>5
F(X)=1-e^(-1/6*x) --> P(X<=x)
a)
P(X<6) = P(5< X <6) ya que X>5
P(5
(1-exp(-1/6*6)) - (1-exp(-1/6*5)) =
0.6321 - 0.5654 = 0.0667
b)
P(6.5
(1-exp(-1/6*7.2)) - (1-exp(-1/6*6.5)) =
0.6988 - 0.6615 = 0.0373
c)
5% por arriba es lo mismo que 95% debajo debemos calcular el valor tal que
F(X)=0.95
1-exp(-1/6*x)=0.95
exp(-1/6*x)=0.05
-1/6*x = ln 0.05
-1/6*X = -2.9957
X= -6* -2.9957
X= 17.9742
Es decir por arriba de x=17.9742 estará el 5% de los clientes que tardan más en ser atendidos.
para x > 5. La función de probabilidad es 1/6*e^(-1/6*x). Calcula la probabilidad de que:
a. Un cliente tarde menos de 6 minutos en ser atendido.
b. Un cliente tarde entre 6.5 y 7.2 minutos en ser atendido.
c. ¿Cuál es el valor arriba del cual está 5% los clientes que más tardan en ser atendidos?
2)
f(x) = 1/6*e^(-1/6*x) para X>5
F(X)=1-e^(-1/6*x) --> P(X<=x)
a)
P(X<6) = P(5< X <6) ya que X>5
P(5
(1-exp(-1/6*6)) - (1-exp(-1/6*5)) =
0.6321 - 0.5654 = 0.0667
b)
P(6.5
(1-exp(-1/6*7.2)) - (1-exp(-1/6*6.5)) =
0.6988 - 0.6615 = 0.0373
c)
5% por arriba es lo mismo que 95% debajo debemos calcular el valor tal que
F(X)=0.95
1-exp(-1/6*x)=0.95
exp(-1/6*x)=0.05
-1/6*x = ln 0.05
-1/6*X = -2.9957
X= -6* -2.9957
X= 17.9742
Es decir por arriba de x=17.9742 estará el 5% de los clientes que tardan más en ser atendidos.
DISTRIBUCION UNIFORME
Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo -en minutos- de maquinado de una pieza se modela con una distribución uniforme (10,20). Calcula la probabilidad de que:
a. Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.
b. De 5 piezas producidas, la quinta sea la primer pieza producida en menos de 14.5 minutos.
La distribución uniforme tiene una función de probabilidad de
\frac{1}{b-a} "\bg_black f(x)\frac{1}{b-a}")
La Probabilidad Acumulada
=\frac{_(x-a)}{(b-a)}\rightarrow&space;que\leftarrow&space;\rightarrow&space;representaP(X\leq&space;x) "\bg_black F(X)=\frac{_(x-a)}{(b-a)}\rightarrow que\leftarrow \rightarrow representaP(X\leq x)")
En este caso:
=\frac{1}{10} "f(x)=\frac{1}{10}")
=\frac{20-x}{10} "F(x)=\frac{20-x}{10}")
P(X<&space;14.5)=F(14.5)=\frac{(20-14.5)}{10}=0.55 "\bg_black a)P(X< 14.5)=F(14.5)=\frac{(20-14.5)}{10}=0.55")
La probabilidad que la pieza sea producida en menos de 14.5 es 0.55 según el punto a) es decir p=0.55
Utilizamos la distribución geométrica
=p(1-p)^{x-1} "P=(X=x)=p(1-p)^{x-1}")
=0.55(1-0.55)^{4}=0.0226 "P(X=5)=0.55(1-0.55)^{4}=0.0226")
a. Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.
b. De 5 piezas producidas, la quinta sea la primer pieza producida en menos de 14.5 minutos.
La distribución uniforme tiene una función de probabilidad de
La Probabilidad Acumulada
En este caso:
La probabilidad que la pieza sea producida en menos de 14.5 es 0.55 según el punto a) es decir p=0.55
Utilizamos la distribución geométrica
lunes, 3 de mayo de 2010
INTEGRALES
1-∫ ln(1+x^2) dx
The formula is
∫uv dx = u∫vdx - ∫[dudx*∫vdx] dx
In the given function, we take ln(1 + x^2) as u and 1 as v
=> Integral
= ln(1 + x^2) ∫1 dx - ∫[d/dx ln(1 + x^2) * ∫1 dx] dx
= x ln(1 + x^2) - ∫[2x/(1 + x^2) * x] dx
= x ln(1 + x^2) - 2∫(x^2 + 1 - 1) / (1 + x^2) dx
= x ln(1 + x^2) - 2 [∫dx - ∫dx / (1 + x^2)
= x ln(1 + x^2) - 2x + tanֿ¹x + c.
2-∫ sen^4 x cos^2 x dx
eescribámosla como:
∫ sen²x (sen²x cos²x) dx =
recordemos la fórmula del ángulo doble:
sen(2x) = 2senx cosx → senx cosx = [sen(2x)]/2 → sen²x cos²x = (senx cosx)² =
[sen²(2x)]/4
además, recordemos la fórmula del ángulo medio:
sen²(x/2) = (1 - cosx)/2 → sen²x = [1 - cos(2x)]/2
luego la integral se vuelve:
∫ sen²x (sen²x cos²x) dx = ∫ {[1 - cos(2x)]/2} {[sen²(2x)]/4} dx =
(1/8) ∫ [1 - cos(2x)] sen²(2x) dx =
desarrollando, obtenemos:
(1/8) ∫ [sen²(2x) - sen²(2x) cos(2x)] dx =
qué se parte en:
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/8) ∫ sen²(2x) cos(2x) dx =
dividámos y multipliquémos la segunda integral por 2 para conseguir 2cos(2x)
que es la derivada de sen(2x):
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/8)(1/2) ∫ sen²(2x) [2cos(2x)] dx =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16) ∫ sen²(2x) d[sen(2x)] =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16) [1/(2+1)] sen^(2+1)(2x) =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16)(1/3) sen³(2x) =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/48)sen³(2x) =
recordemos de nuevo la fórmula del ángulo medio:
sen²(x/2) = (1 - cosx)/2 → sen²(2x) = [1 - cos(4x)]/2
obteniendo:
(1/8) ∫ {[1 - cos(4x)]/2} dx - (1/48)sen³(2x) =
(1/16) ∫ [1 - cos(4x)] dx - (1/48)sen³(2x) =
(partiendo)
(1/16) ∫ dx - (1/16) ∫ cos(4x) dx - (1/48)sen³(2x) =
(1/16)x - (1/16) (1/4)sen(4x) - (1/48)sen³(2x) + c =
concluyendo con:
(1/16)x - (1/64)sen(4x) - (1/48)sen³(2x) + c
The formula is
∫uv dx = u∫vdx - ∫[dudx*∫vdx] dx
In the given function, we take ln(1 + x^2) as u and 1 as v
=> Integral
= ln(1 + x^2) ∫1 dx - ∫[d/dx ln(1 + x^2) * ∫1 dx] dx
= x ln(1 + x^2) - ∫[2x/(1 + x^2) * x] dx
= x ln(1 + x^2) - 2∫(x^2 + 1 - 1) / (1 + x^2) dx
= x ln(1 + x^2) - 2 [∫dx - ∫dx / (1 + x^2)
= x ln(1 + x^2) - 2x + tanֿ¹x + c.
2-∫ sen^4 x cos^2 x dx
eescribámosla como:
∫ sen²x (sen²x cos²x) dx =
recordemos la fórmula del ángulo doble:
sen(2x) = 2senx cosx → senx cosx = [sen(2x)]/2 → sen²x cos²x = (senx cosx)² =
[sen²(2x)]/4
además, recordemos la fórmula del ángulo medio:
sen²(x/2) = (1 - cosx)/2 → sen²x = [1 - cos(2x)]/2
luego la integral se vuelve:
∫ sen²x (sen²x cos²x) dx = ∫ {[1 - cos(2x)]/2} {[sen²(2x)]/4} dx =
(1/8) ∫ [1 - cos(2x)] sen²(2x) dx =
desarrollando, obtenemos:
(1/8) ∫ [sen²(2x) - sen²(2x) cos(2x)] dx =
qué se parte en:
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/8) ∫ sen²(2x) cos(2x) dx =
dividámos y multipliquémos la segunda integral por 2 para conseguir 2cos(2x)
que es la derivada de sen(2x):
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/8)(1/2) ∫ sen²(2x) [2cos(2x)] dx =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16) ∫ sen²(2x) d[sen(2x)] =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16) [1/(2+1)] sen^(2+1)(2x) =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16)(1/3) sen³(2x) =
(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/48)sen³(2x) =
recordemos de nuevo la fórmula del ángulo medio:
sen²(x/2) = (1 - cosx)/2 → sen²(2x) = [1 - cos(4x)]/2
obteniendo:
(1/8) ∫ {[1 - cos(4x)]/2} dx - (1/48)sen³(2x) =
(1/16) ∫ [1 - cos(4x)] dx - (1/48)sen³(2x) =
(partiendo)
(1/16) ∫ dx - (1/16) ∫ cos(4x) dx - (1/48)sen³(2x) =
(1/16)x - (1/16) (1/4)sen(4x) - (1/48)sen³(2x) + c =
concluyendo con:
(1/16)x - (1/64)sen(4x) - (1/48)sen³(2x) + c
DISTRIBUCION BINOMIAL
1.- La revisión aduanal se efectúa en el aeropuerto aleatoriamente de la siguiente manera: En la salida se encuentra un semáforo si al pasar la personas se activa la luz roja se realizará la revisión; en caso de activarse la verde el viajero sale tranquilamente sin revisión.
a) La luz roja sale con una frecuencia del 10%, si se consideran 18 viajeros, ¿Cuál es la probabilidad de que más de uno y a lo más 4 sean revisados?
b) Si la luz roja aparece con una frecuencia del 15%, ¿Cuál es la probabilidad de que antes de la cuarta persona que pase en el semáforo, se tenga la primera que va a ser revisada?
1)
a)
Utilizamos la distribución binomial.
p=0.10 --> Probabilidad de revision
n=18
X --> Numero de personas revisadas
La formula es
P(X=x) =C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
P(X=x) =C(18,x) * 0.10^x * 0.90^(18-x)
Debemos calcular la probabilidad
P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=1) =C(18,1) * 0.10^1 * 0.90^(18-1) = 0.3002
P(X=2) =C(18,2) * 0.10^2 * 0.90^(18-2) = 0.2835
P(X=3) =C(18,3) * 0.10^3 * 0.90^(18-3) = 0.1680
P(X=4) =C(18,4) * 0.10^4 * 0.90^(18-4) = 0.0700
P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(1<=X<=4) = 0.8217
b)
La fución de probabilidad acumulada de la distribución geometrica ( P(X=x) = p(1-p)^(x-1) es
P(X<=n) = 1 - (1-p) ^n
n=4
p=0.15
P(X<=4) = 1 - (1-0.15)^4 = 0.4780
2.- Suponga que una compañía de seguros de vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios realizados muestran que la probabilidad de que un hombre de 42 años fallezca en un cierto año es de 0.001, calcule la probabilidad de que la compañía pague durante un año dado:
2)
p=0.001
n=5000
Debemos calcular la probabilidad P(X>=1), es decir la probabilidad que fallezca algun hombre y la compañía pague. Esta probabilidad es lo contraria a que no pague, es decir que no fallezca ninguno de los 5000 hombres, esta probabilidad es
P(X=0) = (1-p)^n = (1-0.001)^5000 = 0.0067
Por lo tanto la probabilidad que fallezca alguno y la compañía tenga que pagar es
P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-(1-p)^n = 1-0.0067 = 0.9932
3- Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?
Eventos:
D --> Sufrir deterioro --> D' Estar sano
T --> Trastorno detectado
Nos dicen que
P(D)=0.20 --> P(D') = 0.80
P(T|D)=0.80
P(T|D') = 0.03
Nos piden calcular P(D|T) :
Por el teorema de Bayes:
P(D|T) = P(T|D)*P(D) / { P(T|D)*P(D) + P(T|D')*P(D') }
P(D|T) = 0.80*0.20 / { 0.80*0.20 + 0.03*0.80 }
P(D|T) = 0.8696
a) La luz roja sale con una frecuencia del 10%, si se consideran 18 viajeros, ¿Cuál es la probabilidad de que más de uno y a lo más 4 sean revisados?
b) Si la luz roja aparece con una frecuencia del 15%, ¿Cuál es la probabilidad de que antes de la cuarta persona que pase en el semáforo, se tenga la primera que va a ser revisada?
1)
a)
Utilizamos la distribución binomial.
p=0.10 --> Probabilidad de revision
n=18
X --> Numero de personas revisadas
La formula es
P(X=x) =C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
P(X=x) =C(18,x) * 0.10^x * 0.90^(18-x)
Debemos calcular la probabilidad
P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=1) =C(18,1) * 0.10^1 * 0.90^(18-1) = 0.3002
P(X=2) =C(18,2) * 0.10^2 * 0.90^(18-2) = 0.2835
P(X=3) =C(18,3) * 0.10^3 * 0.90^(18-3) = 0.1680
P(X=4) =C(18,4) * 0.10^4 * 0.90^(18-4) = 0.0700
P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(1<=X<=4) = 0.8217
b)
La fución de probabilidad acumulada de la distribución geometrica ( P(X=x) = p(1-p)^(x-1) es
P(X<=n) = 1 - (1-p) ^n
n=4
p=0.15
P(X<=4) = 1 - (1-0.15)^4 = 0.4780
2.- Suponga que una compañía de seguros de vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios realizados muestran que la probabilidad de que un hombre de 42 años fallezca en un cierto año es de 0.001, calcule la probabilidad de que la compañía pague durante un año dado:
2)
p=0.001
n=5000
Debemos calcular la probabilidad P(X>=1), es decir la probabilidad que fallezca algun hombre y la compañía pague. Esta probabilidad es lo contraria a que no pague, es decir que no fallezca ninguno de los 5000 hombres, esta probabilidad es
P(X=0) = (1-p)^n = (1-0.001)^5000 = 0.0067
Por lo tanto la probabilidad que fallezca alguno y la compañía tenga que pagar es
P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-(1-p)^n = 1-0.0067 = 0.9932
3- Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?
Eventos:
D --> Sufrir deterioro --> D' Estar sano
T --> Trastorno detectado
Nos dicen que
P(D)=0.20 --> P(D') = 0.80
P(T|D)=0.80
P(T|D') = 0.03
Nos piden calcular P(D|T) :
Por el teorema de Bayes:
P(D|T) = P(T|D)*P(D) / { P(T|D)*P(D) + P(T|D')*P(D') }
P(D|T) = 0.80*0.20 / { 0.80*0.20 + 0.03*0.80 }
P(D|T) = 0.8696
martes, 5 de enero de 2010
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