lunes, 2 de marzo de 2015

DISTRIBUCION EXPONENCIAL (2022) Ejemplos

El tiempo Y que tarda en realizarse cierta tarea clave en la construccion de una casa es una variable aleatoria que tiene una distribucion exponencial con una media de 10 horas.

El costo C para completar esta tarea esta relacionado con Y mediante

C = 100 + 40Y + 3Y2

Encontrar el valor esperado y la varianza de C.


 f(y) = k e^(- k y) para y > 0

μ = ∫ k y e^(- k y) = 1/ k de 0 a infinito

μ = 10 ---> k = 0.1 ..........var(y) = 1/ k^2 = 1/ .01 = 100

El valor esperado de y^2

∫ .1y^2 e^( - .1y) = 200 de o a infinito

E(C) = 100+40 E(y) + 3 E(y^2)

E(C) = 100 + 40 (10) + 3 (200)

E(C) = 100 + 400 + 600 = 1100

Para la varianza me falta tiempo.

Var(C) = E ( C - E(C))^2

C - E(C) = 100 + 40 y + 3 y^2 - (100 + 40 E(y) + 3 E(y^2))

E(C - E(C))^2 =( 40 y + 3 y^2 - 40(10) + 3 (200) )^2

Var(C) = E(1000000 - 80000 y - 4400 y^2 + 240 y^3 + 9 y^4)

Var(C) = 1000000 -80000E(y) -4400E(y^2) + 240E(y^3) + 9E(y^4)

E(y^3)= ∫ .1y^3 e^( - .1y) = 6000 de o a infinito

E(y^4) = ∫ .1y^4 e^( - .1y) = 240000 de o a infinito

= 1000000 - 80000(10) - 4400(200) + 240(6000) + 9(240000)

Var(C) = 2 920 000

FRACCIONES

FRACCIÓN COMÚN: Es una expresión que representa una o varias partes de la unidad; también se le denomina "QUEBRADO".

Una fracción esta compuesta de dos números llamados términos de la fracción y separados entre si por medio de una lineal horizontal o diagonal.

El numero que va sobre la linea, se llama NUMERADOR
El que va por debajo de la linea, se llama DENOMINADOR

Ejemplo:

                     


DEFINICION DE NUMERADOR: Es el numero que indica cuantas unidades fraccionarias contiene la fracción.

DEFINICION DE DENOMINADOR: Es el numero que indica las partes iguales en que se ha dividido la unidad.



Las fracciones comunes se clasifican en fracción propia y fracción impropia.

FRACCIÓN PROPIA: Su valor es menor a la unidad.

Ejemplo:




                                                                       



FRACCIÓN IMPROPIA: Su valor es mayor o igual que la unidad.

Ejemplo:



                                                                           


NUMERO MIXTO:
Se llama numero mixto al que esta formado por una parte entera y una fraccionaria. Para transformar fracciones impropias en números mixtos, solo es necesario realizar la división.


                                    EJERCICIOS RESUELTOS


👉     Problema 01:          😆


Transformar una fracción impropia a una mixta


               para transforma esta fracción impropia tenemos que hacer una división.


  Lo cual nos da como resultado la división de 5 entre 2 una fracción mixta que es 2 enteros 1 medio.


👉     Problema 02:          😆


Transformar un numero mixto a una fracción impropia

Para la solución de este problema hacemos la multiplicación  del  denominador del numero mixto que es 7 por el numero entero que es 3 mas la suma del numerador que es 5 todo esto entre 7 la cual nos da como resultado en la imagen siguiente:



                  


DISTRIBUCION EXPONENCIAL

El tiempo de recurrencia para el tratamiento de cierto tipo de cáncer es una variable aleatoria con una distribución exponencial con media λ. 50% de los pacientes tienen una recurrencia dentro de 693 días.
a)Encuentre λ
b)Encuentre la probabilidad de que un paciente que no ha tenido la recurrencia en el primer año después del tratamiento, tendrá la recurrencia durante el segundo año.

la distribución exponencial tiene por función de densidad:

f(x) = 1/λ * exp(-1/λ*x)

La función de distribución (probabilidad acumulada) es

P(X<=x) = F(X) = 1 - exp(-1/λ*x)

Nos dicen que

F(693) = 0.50

1 - exp(-1/λ*693) = 0.50

exp(-1/λ*693) = 1-0.50

exp(-1/λ*693) = 0.50

tomando logaritmos

ln { exp(-1/λ*693) } = ln 0.50

-1/λ*693 = ln 0.50

-693/λ = ln 0.50

λ = -693 / ln 0.50

λ = 999.77

b)

Es una probabilidad condicionada

P(365365) = P(365365)

365
por tanto la probabildad es

P(365X<730>365) =

donde

P(365X<730 -="" f="" p="">
P(X>365) = 1-F(365)

tenemos que

F(730) = 1-exp(-1/999.78*730) = 0.5182

F(365) = 1-exp(-1/999.78*365) = 0.3059

Por tanto

P(365X<730 -="" 0.3059="0.2123</p" 0.5182="" f="">
P(X>365) = 1-F(365) = 1-0.3059 = 0.6941

La probabilidad es 0.2123/0.6941 = 0.3058

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

La vida promedio de un televisor es de 12 años. La vida de los productos sigue con frecuencia, una distribucion exponencial de probabilidad suponga que es el caso del televisor.

Cual es la probabilidad de que la vida sea de 15 años o mas.

E(X)=1/λ

12=1/λ

λ=1/12

La formula de la distribución exponencial es

f(x)=λ*exp(-λx)

y la de probabilidad acumulada e

F(x)=1-exp(-λx) que representa a P(X≤x)

a)

Debemos calcular

P(X>15) = 1 - P(X≤15) = 1-F(15)

F(15)= 1-exp(-1/12*15) = 0.7135

por lo que

P(X>15) = 1-F(15) = 1-0.7135

P(X>15) = 0.2865

FUNCIONES Y LIMITES

FUNCIÓN: Es el conjunto de pares ordenados de números reales (x,y) en los que el primer elemento es diferente en todos y cada uno de los pares ordenados.

Ejemplo:

1-A =(2,5)(3,6)(4,7)(5,8) Representa una función ya que el primer elemento de cada par ordenado es diferente de los otros.

2-B=(1,1)(1,-1)(4,2)(4,-2) No representa una función ya que se repite el primer elemento en ciertos pares ordenados.

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Es la expresión que relaciona la variable dependiente con la variable independiente y se denota por:

                          y= F(x),se lee (y es igual a f de x )


Donde:

x: variable independiente
y:variable dependiente
F(x):regla de correspondencia


DIVISIBILIDAD Y CALCULO DEL MAXIMO COMUN DIVISOR

DIVISIBILIDAD: Un numero es divisible entre otro cuando al dividir el primero entre el segundo, el cociente es exacto.

 EJEMPLOS: La divisibilidad es la propiedad que tiene un numero para ser dividido entre otro exactamente.

 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: En ciertos casos no es necesario efectuar la división, basta seguir los criterios de divisibilidad que a continuación se señalan.

 NUMERO PAR: Es todo numero que es múltiplo de 2

 EJEMPLO: Son números pares: 2,4,6,8,10,12,14....etc

 NUMERO IMPAR: Es todo numero que no es múltiplo de 2

 EJEMPLO: Son números impares: 1,3,5,7,9,11,13,15.....etc

NUMEROS MULTIPLOS,COMPUESTOS Y PRIMOS

MÚLTIPLO DE UN NUMERO: Un numero A es múltiplo de un numero B si al efectuar la división A/B esta es exacta, es decir, el residuo es cero.

 EJEMPLOS: 

 NÚMEROS COMPUESTOS: Es todo numero natural distinto de la unidad y que puede ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos diferentes de si mismo, los cuales son sus factores y en algunos casos pueden repetirse.

 EJEMPLOS:

4 se puede factorizar en: (2)(2) ó (4)(1).
6 se puede factorizar en: (3)(2) ó (6)(1).
8 se puede factorizar en: (4)(2) ó (8)(1) ó (2)(2)(2).
26 se puede factorizar en: (13)(2) ó (26)(1).

MINIMO COMUN MULTIPLO

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: Un entero es un múltiplo común de dos o mas enteros dados si es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero positivo que sea común múltiplo de dos o mas enteros,al cual se le llama mínimo común múltiplo y se simboliza por m.c.m ó M.C.M.

 PASOS PARA DETERMINAR EL M.C.M. 

 1- Se halla la factorización prima de cada número.

 2-El M.CM. se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados con su mayor exponente.

 EJEMPLOS:

 Hallar el m.c.m de 18,24 y 15