lunes, 17 de mayo de 2010

MEDIA MUESTRAL

-Se estudia un determinado carácter en una población del que se conocen la media y la varianza poblacional, que asciende, respectivamente, a 10 y 25, respectivamente. Calcular la probabilidad de que la media muestral se separe de la poblacional en menos de dos unidades cuando el tamaño de la muestra es 9 y 100.

X =10 --> media muestral
σ=25 --> desviacion
μ --> media poblacional

La desviación de la media muestral es σ/√n

Z=(X-μ)/(σ/√n)

Debemos calcular la probabilidad que |X-μ|<2 -2="" 2="" br="" decir="" entre="" es="" est="" la="" probabilidad="" que="" x-="" y="">
P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n))

1) Para n=9

P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n)) =

P( -2/(25/√9) < Z < 2/(25/√9)) =

P(-0.24
P(0.24) - P(-0.24) = Según las tablas,

0.5948 - 0.4052 =

0.1897

2) Para n=100

P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n)) =

P( -2/(25/√100) < Z < 2/(25/√100)) =

P(-0.8
P(0.8) - P(-0.8) = Según las tablas,

0.7881 - 0.2119 =

0.5762

DISTRIBUCION DE POISSON

-Los clientes llegan al establecimientos de acuerdo a un proceso Poisson con intensidad= 4 clientes en una hora. Si el establecimiento abre a las 9:00 hs
a- cual es la probabilidad que llegue solo un cliente hasta las 9:15
b- probabilidad de que lleguen exactamente 5 clientes alas 10:30
c- el numero de clientes esperado entre las 9.00 y las 12.00.

4 clientes/hora

La formula de poison es

P(X=x) = exp(-λ)*λ^x / x!

exp(k) es e^k , el numero e elevado a la cantidad k

a)

Hasta las 9,15 es 1/4 de hora

λ=4 clientes /hora * 1/4 de hora = 1 cliente cada cuarto de hora.

λ=1

P(X=1) = exp(-1)*1^1/1 = 0.3679

b)

Hasta las 10:30 hay hora y media

λ=4 clientes/hora * 1,5 horas = 6 clientes en hora y media

λ=6

P(X=5) = exp(-6)*6^5/5! = 0.1606

c)

entre las 9 y 12 hay 3 horas

λ=4 clientes / horas * 3 horas = 12 clientes en 3 horas

λ=12

La esperanza de la distribución de Poisson es

E(X)=λ

E(X)=12

Se esperan 12 clientes entre las 9 y las 12

DISTRIBUCION NORMAL (2022)

  • + EJEMPLOS DE DISTRIBUCION NORMAL
  •  
    👉 Problema 03: 😆 


    Una máquina embotelladora de vino está ajustada para llenar botellas de 770 centímetros cúbicos con una desviación típica de 25 centímetros cúbicos. Si se sabe que la capacidad de vino en la botella sigue una distribución normal:

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que la capacidad de vino en una botella elegida al azar esté comprendida entre 750 y 785 centímetros cúbicos?¿Como empresario que opinión le sugiere este resultado? ¿Considera que debe tomar algún tipo de medida? ¿Cuál? 

    Solución Inciso a)
                                             

                                             

                                 

    Estandarizamos con: 
                                         


        

           

                               
                              
                                 

                        
                             

            
                  

                            
                              

                                       
                                            


    Más de la mitad de las botellas tendrá una capacidad entre 750 y 785. 
     
    Lo que quiere decir que casi la mitad de botellas tendrán menos de 750 o más de 785 lo que no será optimo para el empresario. 

     El empresario debe considerar ajustar la maquina para reducir la variabilidad y así que se ajuste mejor la cantidad envasada.

    DISTRIBUCION NORMAL (2022)

  • + EJEMPLOS DE DISTRIBUCION NORMAL
  •   
    👉 Problema 04: 😆 


    Si una máquina embotelladora de vino envasa 770 c.c. por botella con una desviación típica de 25c.c , que probabilidad hay que envase botellas con 775 c.c? o con 725 c.c?

    Al ser una distribución normal la probabilidad exacta de 775 y 725 es 0 al ser una función continua.
     
                                
                                  
                                    


    Solución Inciso a)





    Estandarizamos con:       

                                          


          

               Según las tablas.



    Solución Inciso b)



    Estandarizamos con:

                                          

          

    EVENTOS

    1-a dos pacientes d un hospital, un hombre y una mujer, se les has diagnosticado una infeccion.
    los medicos pronostican que con el tratamiento la probabilidad de cura para el hombre es del 50% y para la mujer del 60%, si se considera las dos situaciones compltamente independientes calcular la probabilidad:

    a. que los dos se curen.
    b. que el hombre no supere la enfermedad.
    c. que la mujer no se cure.
    d. que ni el hombre ni la mujer se curen.

    H --> Hombre
    M --> Mujer

    P(H) = 0.50
    P(M) = 0.60

    a) P(H)*P(M) = 0.50*0.60 = 0.30

    b) 1-P(H) = 1-0.5 = 0.5

    c) 1-P(M) = 1-0.6 = 0.4

    d) (1-P(H)) * (1-P(M)) = (1-0.50)*(1-0.60) = 0.50*0.40 = 0.20

    DISTRIBUCION BINOMIAL

    1-En un estudio sobre el sector de hostelería de una determinada ciudad se ha detectado que la tasa de fraude en la contabilidad es de 0,07. Si F es el número de empresas que defraudan en una muestra de 100 empresas de hostelería:
    Calcular la probabilidad de que F sea superior a 5.
    Determinar la distribución asintótica de F.

    INTERVALOS DE CONFIANZA

    1-Se han medido los datos de consumo de energía eléctrica en las distintas sedes de un grupo de empresas. Los datos son los siguientes: 575, 488, 601, 444, 683, 485, 798, 561, 231.
    Se supone que el consumo de energía eléctrica se distribuye según una ley normal de media 550 y desviación típica 150.
    Calcular intervalos de confianza en los casos siguientes:
    Para la media poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la varianza poblacional.
    Para la varianza poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la media poblacional.

    N es el numero de datos, en este caso 9

    La media muestral es

    Media=540.6667

    La desviación muestral es

    s=159.2255

    a)

    Si conocemos las varianza poblacional, (σ=150) el intervalo es

    Media ± Z(1-alfa/2)*σ/√n

    Para el 95% --> alfa=0.05 Z(1-alfa/2) = Z(0.975) = 1.96

    El intervalo es

    540.6667 ± 1.96*150/√9

    540.6667 ± 98

    (442.6667 , 638.6667) <-- 95="" br="" de="" del="" intervalo="" la="" media="">
    b)

    la varianza muestral es s²=159.2255² = 25352.75985


    El intervalo del 95% es

    (n-1)s² / X(1-alfa/2,n-1) ≤ σ² ≤ (n-1)s² / X(alfa/2,n-1)

    Donde X(1-alfa/2,n-1) y X(alfa/2,n-1) son los valores criticos de la distribución chi-cuadrado.

    En este caso

    X(0.975,8) = 17.5346
    X(0.025,8) = 2.1797

    Por lo tanto el intervalo es

    8*25352.75985 / 17.5346 ≤ σ² ≤ 25352.75985 / 2.1797

    11566.9635 ≤ σ² ≤ 93050.4559

    DISTRIBUCION NORMAL (2022)

  • + EJEMPLOS DE DISTRIBUCION NORMAL
  •  
    👉 Problema 05: 😆 


    Se supone que en un determinado proceso productivo, interesa analizar la diferencia entre dos determinadas características X e Y que se distribuyen según leyes normales de medias 325 y 350 y desviaciones típicas 5 y 7, respectivamente. Ambas variables son independientes.
    Se desea obtener la distribución de probabilidades de la variable diferencia y calcular la probabilidad de que esta diferencia sea inferior a 20.

    La formula de la diferencia de dos normales es una normal con

    Media : X-Y

    varianza : Var(X)+Var(Y)

    desviación : √(Var(X)+Var(Y))

    Es decir

    Media = 325-350 = -25

    desviación = √(5²+7²) = √74 = 8.6023

    es decir la diferencia sigue una N(-25 , 8.6023)

    Para que la diferencia sea menor a 20

    P(-20< X-Y <20 br="">
    Estandarizamos con Z=(X-media)/desv

    X-Y=20 --> Z=(20-(-25))/8.6023 = 5.2312

    X-Y=-20 --> Z=(-20-(-25))/8.6023 = 0.5812

    P(-20
    P(Z<5 -="" .2312="" br="" p="">
    1 - 0.7194 =

    0.2806