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lunes, 13 de diciembre de 2010
ETS RESUELTO DE PROBABILIDAD 2009
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DISTRIBUCION BINOMIAL(2022) Ejemplos
DISTRIBUCION BINOMIAL
La distribución Binomial es una distribución discreta que posee un gran significado práctico además, representa un medio auxiliar apropiado para la investigación de regularidades de fenómenos aleatorios, que son de importancia fundamental para la teoría de probabilidades y para su aplicación práctica.
Sea n un número natural arbitrario y p, un número situado entre cero y uno. Una variable aleatoria X que tome los valores 0,1,2,...,n se denomina distribuida binomialmente con los parámetros n y p ,
Condiciones que debe cumplir una Distribución Binomial
Un experimento aleatorio se llama pascal o binomial negativa, si cumple con:
1- El experimento consta de ensayos independientes.
2- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y Fracaso.
3- La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q=1-p , y se mantienen constantes de ensayo en ensayo.
4- El experimento termina cuando ocurre el n-ésimo éxito.
Problema 01:
a) Entre 4 y 7 empleados; inclusive que sean civiles
b) 8 empleados civiles
c) Menos de 2 y más de 7 sean civiles.
DISTRIBUCION BINOMIAL
Sólo el 20% de los empleados son civiles en una base militar. Si 10 empleados de la base llegan, ¿Cual es la probabilidad que el guardia encuentre:
a) Entre 4 y 7 empleados; inclusive que sean civiles
b) 8 empleados civiles
c) Menos de 2 y más de 7 sean civiles.
La formula de la distribución binomial es
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
n=10
p=0.20
P(X=x) = C(10,x) * 0.2^x * 0.8^(10-x)
a)
P(4<=X<=7) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
P(X=4) = C(10,4) * 0.2^4 * 0.8^(10-4) = 0.0881
P(X=5) = C(10,5) * 0.2^5 * 0.8^(10-5) = 0.0264
P(X=6) = C(10,6) * 0.2^6 * 0.8^(10-6) = 0.0055
P(X=7) = C(10,7) * 0.2^7 * 0.8^(10-7) = 0.0008
P(4<=X<=7) = 0.0881 + 0.0264 + 0.0055 + 0.0008 = 0.1208
b)
P(X=8) = C(10,8) * 0.2^8 * 0.8^(10-8) = 0.000074
c)
P(X<2) + P(X>7) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)
P(X=0) = C(10,0) * 0.2^0 * 0.8^(10-0) = 0.1074
P(X=1) = C(10,1) * 0.2^1 * 0.8^(10-1) = 0.2684
P(X=8) = C(10,8) * 0.2^8 * 0.8^(10-8) = 0.0001
P(X=9) = C(10,9) * 0.2^9 * 0.8^(10-9) = 0.000004
P(X=10) = C(10,10) * 0.2^10 * 0.8^(10-10) = 0.0000001
Sumando,
P(X<2) + P(X>7) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = 0.3759
a) Entre 4 y 7 empleados; inclusive que sean civiles
b) 8 empleados civiles
c) Menos de 2 y más de 7 sean civiles.
La formula de la distribución binomial es
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
n=10
p=0.20
P(X=x) = C(10,x) * 0.2^x * 0.8^(10-x)
a)
P(4<=X<=7) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
P(X=4) = C(10,4) * 0.2^4 * 0.8^(10-4) = 0.0881
P(X=5) = C(10,5) * 0.2^5 * 0.8^(10-5) = 0.0264
P(X=6) = C(10,6) * 0.2^6 * 0.8^(10-6) = 0.0055
P(X=7) = C(10,7) * 0.2^7 * 0.8^(10-7) = 0.0008
P(4<=X<=7) = 0.0881 + 0.0264 + 0.0055 + 0.0008 = 0.1208
b)
P(X=8) = C(10,8) * 0.2^8 * 0.8^(10-8) = 0.000074
c)
P(X<2) + P(X>7) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)
P(X=0) = C(10,0) * 0.2^0 * 0.8^(10-0) = 0.1074
P(X=1) = C(10,1) * 0.2^1 * 0.8^(10-1) = 0.2684
P(X=8) = C(10,8) * 0.2^8 * 0.8^(10-8) = 0.0001
P(X=9) = C(10,9) * 0.2^9 * 0.8^(10-9) = 0.000004
P(X=10) = C(10,10) * 0.2^10 * 0.8^(10-10) = 0.0000001
Sumando,
P(X<2) + P(X>7) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = 0.3759
sábado, 11 de diciembre de 2010
sábado, 4 de diciembre de 2010
DISTRIBUCION BINOMIAL (2022) Ejemplos
EJERCICIOS RESUELTOS
Problema 01:
Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros se accidentan cada año. Cual es la probabilidad de que por lo menos 3 de una muestra de 7 vehículos asegurados, se haya accidentado?
Es un caso de distribución binomial
Problema 02:
35% de los jóvenes que asisten a un restaurant fuman. Si se escogen al azar 5 jóvenes, calcula la probabilidad de que:
a. Ninguno fume.
b. Más de 3 fumen.
c. Cuando mucho 2 fumen.
d. Exactamente 5 fumen.
e. Encuentra el valor esperado y la varianza del número de jóvenes fumadores.
Problema 03:
Suponga que para un embarque muy grande chips de circuitos integrados, la probabilidad de falla para cualquier chip es de 0,10. Suponga que se cumplen las suposiciones en que se basan las distribuciones binomiales ¿encuentre la probabilidad de que a lo más 3 chips fallen en una muestra aleatoria de 20?
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Una variable aleatoria continua es aquella que puede adoptar cualquier valor en el marco de un intervalo que ya esta predeterminado .
EJERCICIOS RESUELTOS
Suponga que f (x) = 0,25, para 0 < X < 4. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria continua X.
Media= integral de 0 a 4 de xf(x) = 0.25x
E(x)= 0.25*x^2/2 (x=0,4) --> 0.25*4^2/2 - 0.25*0^/2 = 2
Varianza = E(X^2) - E(X)^2
E(X^2) = integral de 0 a 4 de x^2*f(x) = 0.25x^2
E(x^2)= 0.25*x^3/3 (x=0,4) --> 0.25*4^3/3 - 0.25*0^/3 = 5.33333
Varianza = E(X^2) - E(X)^2 = 5.3333 - 2^2 = 1.33333
EJERCICIOS RESUELTOS
Suponga que f (x) = 0,25, para 0 < X < 4. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria continua X.
Media= integral de 0 a 4 de xf(x) = 0.25x
E(x)= 0.25*x^2/2 (x=0,4) --> 0.25*4^2/2 - 0.25*0^/2 = 2
Varianza = E(X^2) - E(X)^2
E(X^2) = integral de 0 a 4 de x^2*f(x) = 0.25x^2
E(x^2)= 0.25*x^3/3 (x=0,4) --> 0.25*4^3/3 - 0.25*0^/3 = 5.33333
Varianza = E(X^2) - E(X)^2 = 5.3333 - 2^2 = 1.33333
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Una variable aleatoria se llama Discreta, si puede aceptar un número finito o infinito numerable de valores, es decir si el dominio de valores en un conjunto a lo sumo numerable.
EJERCICIOS RESUELTOS
Problema 01:
1. Sea X una variable aleatoria discreta.
Determine el valor de k para que la función f (x)=k / x, x = 1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad
de X. Determine además P (1 =< X =< 3).
TEOREMA DE BAYES
La probabilidad que un hombre casado vea cierto programa de la televisión, es 40%, la probabilidad que su esposa vea el mismo programa es 50% y la probabilidad que el hombre vea el programa dado que su esposa lo vio es 70%. ¿cual es la probabilidad que al menos uno de los esposos vea el programa?
H --> el hombre ve el programa
M --> la mujer ve el programa.
P(H)=0.40
P(M)=0.50
P(H|M)=0.70 --> P(H|M)=P(H y M)/P(M) --> P(H y M) = P(H|M)*P(M) = 0.70*0.50 = 0.35
Debemos calcular la probabilidad que al menos uno de los esposos vea el programa:
P(H o M) =P(H) + P(M) - P(H y M) = 0.40 + 0.50 - 0.35 = 0.55
H --> el hombre ve el programa
M --> la mujer ve el programa.
P(H)=0.40
P(M)=0.50
P(H|M)=0.70 --> P(H|M)=P(H y M)/P(M) --> P(H y M) = P(H|M)*P(M) = 0.70*0.50 = 0.35
Debemos calcular la probabilidad que al menos uno de los esposos vea el programa:
P(H o M) =P(H) + P(M) - P(H y M) = 0.40 + 0.50 - 0.35 = 0.55
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