Ejercicios de Matemáticas

+ EJEMPLOS DE DISTRIBUCION EXPONENCIAL

El tiempo que tarda un empleado en tomar un pedido de un cliente en un restaurante que da servicio en su coche, sigue una distribución exponencial con una respuesta de atención al cliente de 4 minutos en promedio.

a)¿Que probabilidad hay de que el cliente siguiente deba esperar menos de 2.5 minutos?

b)¿Que probabilidad hay de que el cliente siguiente deba esperar entre 1 y 3 minutos?

Solución Inciso a)

La distribución exponencial tiene por

Formula

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

Y su media es $\bg_black E(X)=\frac{1}{\lambda }$ en este caso $\bg_black 4=\frac{1}{\lambda }$

Entonces $\bg_black \lambda =\frac{1}{4 }=0.25$

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

$\bg_black P(X< x)=f(x)=1-e^{-\lambda x}$

$\bg_black P(x< 2.5)=F(2.5)$

$=1-e^{-\frac{1}{4}(2.5)}=0.4647$

Solución Inciso b)

$P(1< x< 3)=$

$P(x< 3)-P(x< 1)=$

$F(3)-F(1)=$

$(1-e^{-\frac{1}{4}(3)})-(1-e^{-\frac{1}{4}(1)})=$

$0.5276-0.2212=0.3064$

😆

👉DISTRIBUCION UNIFORME: En las distribuciones continuas se suele comenzar con un modelo sencillo, pero de gran importancia en diferentes áreas de estudio en donde las variables aleatorias se distribuyen uniformemente en un intervalo finito (a,b) ó (a,b). Un modelo probabilístico continuo es de tipo uniforme, cuando la variable aleatoria continua que en él se define está distribuida en el intervalo (a,b) de tal forma que la probabilidad en un subintervalo cualesquiera, depende sólo de la longitud. Por consiguiente, su función de densidad dependerá de los valores de sus parámetros a y b. Formalizando el modelo tendremos lo siguiente.

Si x en una variable aleatoria continua del experimento realizado diremos que tiene una distribución uniforme con parámetros a y b , cuando su función de densidad de probabilidad esta distribuida en el intervalo (a,b)

FUNCIÓN DE DENSIDAD

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & a\leq x\leq b & \\ 0 & en, otro\ \rightarrow lugar & \end{matrix}\right.$

Facilmente se comprueba que efectivamente la funcion anterior es una funcion de densidad de probabilidad puesto que no es negativa y la integral en todos los numeros reales vale uno.

El calculo de dicha integral se reduce al area del rectangulo con base igual a:

$b-a$ y altura $\frac{1}{b-a}$

Si x es una variable aleatoria continua con distribucion uniforme en (a,b) y , f(x) es su funcion de densidad de probabilidad, entonces

ESPERANZA MATEMÁTICA LLAMADO TAMBIÉN VALOR ESPERADO

$a) E(x)=\frac{a+b}{2}$

DESVIACIÓN ESTÁNDAR LLAMADO TAMBIÉN VARIANZA

$b)V=(x)=\frac{(b-a^{2})}{12}$

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

$c)F(x)=\begin{Bmatrix} 0& x< a & \\ \frac{x-a}{b-a}& a\leq x< b & \\ 1& x\geq b & \end{Bmatrix}$

DEMOSTRACIÓN DE LAS FORMULAS DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Empleando las formulas para el valor esperado, la variancia y la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.

DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DEL VALOR ESPERADO

$E(x)=\int_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}xdx=\frac{1}{b-a}\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )_{x=a}^{x=b}$

$=\frac{1}{2\left ( b-a \right )}\left (b ^{2}-a^{2} \right )=\frac{a+b}{2}$

DEMOSTREMOS LA EXPRESIÓN PARA LA VARIANZA

$V(X)= \int_{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)dx-E^{2}(X)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}x^{2}dx-\frac{(a+b)^{2}}{4}$

$=\frac{x^{3}}{3\left ( b-a \right )}_{x=a}^{x=b}-\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}=\frac{b^{3}-a^{3}}{3\left ( b-a \right )}-\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}$

$=\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}-\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}=\frac{(b-a)^{2}}{12}$

EJERCICIOS RESUELTOS

👉 Problema 01: 😆

Sea la variable aleatoria continua $x$ la corriente medida, en miliamperes,en un alambre delgado de cobre. supongase que el rango de $x$ es $\bg_black \left [ 0,20 \right ]$ mA y que la función de densidad de probabilidad de $x$ es $f(x)=0.05$ , $0\leq x\leq 20$ .

a)¿Cual es la probabilidad de que una medición de corriente este entre 5 y 10 miliamperes?
b) Obtenga la media y la varianza de $x$

Solución Inciso a)

$\bg_black f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{20-0} &x\epsilon \left [ 0,20 \right ]=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{20}, & x\epsilon \left [ 0,20 \right ]\\ 0& \end{matrix}\right. \\ 0,& x\epsilon \left [ 0,20 \right ]x\epsilon \left [ 0,20 \right ] \end{matrix}\right.$

La probabilidad se calcula por:

$\bg_black P(5< x< 10)=\frac{1}{20}\int_{5}^{10}dx=\frac{10-5}{20}=\frac{5}{20}=0.25$

Solución Inciso b)

$\bg_black E(x)=\frac{a+b}{2}=\frac{0+20}{2}=\frac{20}{2}=10mA$

$\bg_black V(x)=\frac{(b-a^{2})}{12}=\frac{(20-0^{2})}{12}=\frac{20^{2}}{12}=33.33mA^{2}$

👉 Problema 02: 😆

Suponga un experimento en el que de alguna manera se hace medición al azar y esta tiene una distribución uniforme en el intervalo $\left [ 0,3 \right ]$ . Calcule la probabilidad de que la medición
este entre 1.5 y 2.

a) Por medio de su función de densidad.
b)Por medio de su función acumulada.

Solución Inciso a)

a) Sea $x$ la variable aleatoria continua definida en el experimento, se ha mencionado en las condiciones del problema que $x$ tiene una distribución en $\left [ 0,3 \right ]$ . Por lo tanto, su función de densidad estará dada por:

$\bg_black f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3-0} &x\epsilon \left [ 0,3 \right ]=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}, & x\epsilon \left [ 0,3 \right ]\\ 0& \end{matrix}\right. \\ 0,& x\epsilon \left [ 0,3 \right ]x\epsilon \left [ 0,3 \right ] \end{matrix}\right.$

La probabilidad se calcula por:

$\bg_black P(1.5< x< 2)=\frac{1}{3}\int_{1.5}^{2}dx=\frac{2-1.5}{3}=\frac{1}{6}$

Solución Inciso b)

De forma similar al inciso (a), tenemos que su función acumulada de $x$ estará dada por :

$\bg_black F(x)=\begin{Bmatrix} 0& x< 0 & \\ \frac{x-0}{3-0}& 0\leq x< 3 & \\ 1& x\geq 3 & \end{Bmatrix}=\left\{\begin{matrix} 0, &x< 0 & \\ \frac{x}{3},& 0\leq x< 3 & \\ 1, & x\geq 3 & \end{matrix}\right.$

Por lo tanto, la probabilidad $\bg_black P(1.5< x< 2)$ , se puede calcular de la siguiente manera:

$\bg_black P(1.5< x< 2)=F(2)-F(1.5)=$

$=\frac{2}{3}-\frac{1.5}{3}=\frac{2-1.5}{3}=\frac{0.5}{3}=\frac{1}{6}$

👉 Problema 03: 😆

Suponga un experimento en el que de alguna manera se hace una medición al azar y esta puede estar distribuida uniformemente en el intervalo $\left [ 0,3 \right ]$ , Se realizan cinco mediciones independientes.
¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellas estén entre 1 y 2?

Solución Inciso a)

Primero definimos a la variable aleatoria continua $x$ de forma similar que en el ejemplo anterior, para una sola medicion, en donde ella tiene una distribución uniforme en $\left [ 0,3 \right ]$ , y calculamos la probabilidad de que dicha medida se encuentre entre 1 y 2.

$P(1< x< 2)=\frac{2-1}{3-0}=\frac{1}{3}$

Posteriormente definimos a la variable discreta, Y: " Cantidad de mediciones que resultan entre 1 y 2"

Ahora note que en este caso se tienen 5 ensayos independientes con probabilidad de éxito igual a:

$Py(1< x< 2)=\frac{1}{3}\rightarrow fracaso\rightarrow \frac{2}{3}$

Por lo tanto, se trata de un modelo binomial con parámetros:

$n=5$

$Py=\frac{1}{3}$

Así

$P(Y=2)=c_{2}^{5}\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}\left ( \frac{2}{3} \right )^{3}=10\cdot \frac{8}{243}=0.3292$

👉 Problema 04: 😆

La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en diez miles de galones )con una función de densidad de probabilidad como se indica abajo.

a) calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes; $P=(0.8< x < 1.2)$

b) determine la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado.

Solución Inciso a)

Función de Densidad

$\bg_black f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0> x< \ 3 & \\ 0 & en, otro\ \rightarrow lugar & \end{matrix}\right.$

$f(x)=\left \{ \frac{1}{3} \right.,\rightarrow 0> x< 3$

Distribución Uniforme (0,3)

a) $P(0.8)$ Es la integral entre 0.8 y 1.2 de $f(x).$

La integral Indefinida es :

$f(x)=\left \{ \left ( \frac{1}{3} \right ) \right.^{x}$

y la probabilidad

$F(1.2)-F(0.8)$

$\left ( \frac{1}{3} \right )^{1.2}-\left ( \frac{1}{3} \right )^{0.8}=0.1333$

Solución Inciso b)

Es una distribución continua con parámetros $a=0$ $b=3$ y su media es:

$E(x)=\frac{a+b }{2}=\frac{0+3 }{2}=1.5$

Se calcula la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado:

$V(x)=\frac{(b-a )^{2}}{12}=\frac{(3-0) ^{2}}{12}=\frac{9}{12}$

👉 Problema 05: 😆

Las ventas de combustibles en una gasolinera tienen una media de 40 000 litros por día y un mínimo de 30 000 litros por día. Supongamos que una distribución uniforme es apropiada.

a)Determine las ventas máximas diarias

b)¿Que porcentaje de días las ventas excederán de 34 000 litros?

Solución Inciso a)

Formula $\mu =\frac{a+b}{2}$

Sustituyendo los valores de la formula:

$40,000 =\frac{30,000+b}{2}$

Despejando b :

$30,000+b=40,000(2)$

$30,000+b=80,000$

$b=80,000-30,000$

Ventas máximas diarias : $b=50,000$

Solucion Inciso b)

$P(x> 34,000)=1-\frac{34,000-30,000}{50,000-30,000}$

$=1-\frac{4,000}{20,000}$

$=1-0.2=0.8$

Porcentaje de Ventas % $=0.8(100)=80$ %

👉 Problema 06: 😆

Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo -en minutos- de maquinado de una pieza se modela con una distribución uniforme (10,20). Calcula la probabilidad de que:
a) Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.

Solución Inciso a)

La distribución uniforme tiene una función de probabilidad de:

$\bg_black f(x)=\frac{1}{b-a}=f(x)=\frac{1}{10}$

La probabilidad Acumulada

Formula:

$\bg_black f(x)=\frac{x-a}{b-a}=f(x)=\frac{20-x}{10}$

Que representa $P(X\leq x).$

En este caso :

$a)P(x< 14.5)$

Sustituyendo los valores de la formula nos queda:

$\bg_black F(14.5)=f(x)=\frac{20-x}{10}=\frac{20-14.5}{10}=0.55$

👉 Problema 07: 😆

Suponga que $x$ tiene una distribución uniforme continua en el intervalo $\bg_black \left [ 1.5,5.5 \right ]$ .

a) Calcule la media y la varianza de $x$ .

Solución Inciso a)

$\bg_black E(x)=\frac{a+b}{2}=\frac{1.5+5.5}{2}=\frac{7}{2}=3.5$

$\bg_black V(x)=\frac{(b-a^{2})}{12}=\frac{(5.5-1.5^{2})}{12}=\frac{4^{2}}{12}=1.3333$

👉 Problema 08: 😆

Suponga que $x$ tiene una distribución uniforme continua en el intervalo $\bg_black \left [ -1,1 \right ]$ .

a) Calcule la media y la varianza de $x$ .

Solución Inciso a)

$\bg_black E(x)=\frac{a+b}{2}=\frac{-1+1}{2}=\frac{0}{2}=0$

$\bg_black V(x)=\frac{(b-a^{2})}{12}=\frac{(1-(-1)^{2})}{12}=\frac{2^{2}}{12}=0.3333$

👉 Problema 09: 😆

Considere una variable aleatoria cuya distribución es uniforme en el intervalo $\bg_black \left [ 0,1 \right ]$ como se ha

presentado es decir $\bg_black P(a\leq x \leq b)=b-a$ siempre que $\bg_black 0\leq a\leq b\leq 1$ , con

$\bg_black P(x< 0)=P(x> 1)=0$ se dice que la variable aleatoria $x$ sigue una distribución uniforme

$\bg_black \left [ 0,1 \right ]$ y se representa por $x$ uniforme $\bg_black \left [ 0,1 \right ]$

por ejemplo:

$\bg_black P(\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{4})=\frac{3-1}{4-2}=\frac{1}{4}$

👉 Problema 10: 😆

Supongamos que la variable aleatoria continua $x$ , tiene una distribución de tipo uniforme con su valor mas grande igual a 6 y valor esperado de 4.

a) ¿Calcule el valor de a del valor esperado?
b) ¿Calcule la variancia de $x$ ?

Solución Inciso a)

Formula:

$\bg_black E(x)=\frac{a+b}{2}$

Sustituyendo los valores de la formula:

   $\bg_black 4=\frac{a+6}{2}$

Despejando a:

   $a+6=4(2)$

   $a+6=8$

   $a=8-6$

$a=2$

Solución Inciso b)

$\bg_black V(x)=\frac{(b-a^{2})}{12}=\frac{(6-2^{2})}{12}=\frac{4^{2}}{12}=1.3333$

👉 Problema 11: 😆

Un satélite que ha cumplido su ciclo en orbita alrededor de la tierra esta a punto de caer en ella, los especialistas calcularon su caída en algún lugar entre los puntos P y Q. Si su comportamiento es uniforme. Calcule la probabilidad de que la distancia con respecto a P sea mas de 4 veces la distancia con respecto a Q.

Solución Inciso a)

De las condiciones del ejercicio nos interesa conocer la probabilidad cuando, $x> 4(L-x)$ .

Así, agrupando las x del lado izquierdo tenemos, $x+ 4x> 4L$ Despejando x, resulta $x> \frac{4}{5}L$ .

Por lo tanto, si calculamos la probabilidad requerida por una división entre segmentos tendremos:

$P\left ( X> \frac{4}{5}L \right )=\frac{L-\frac{4}{5}L}{L}=\frac{\frac{1}{5}L}{L}=\frac{1}{5}$

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