COMBINACION (2022)

COMBINACION: Dado el conjunto con n elementos diferentes, llamaremos combinación a cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k. Detonaremos el número de combinaciones de tamaño k que se puedan formar con los n elementos.

EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

1.- Una secretaria introduce al azar 3 cartas diferentes en 3 sobres diferentes. Se sabe que cada carta solo tienen un sobre correcto. Sea X el número de cartas introducidas correctamente:

a) Halla la distribución de probabilidad de X.
b) Calcula el valor esperado de X.

obtener las probabilidades usando la combinatoria.

Si llamamos 1,2,3 a las cartas y el sobre lo representamos por la posicion (posicion 1 --> sobre 1, posicion 2 ---> sobre 2, posicion 3 ---> sobre 3). Se pueden producir los siguientes 6 casos (permutaciones de 3 elementos = 3!=3*2*1=6) , en los que indicamos las cartas introducidas correctos (se considera que es correcta si la carta 1 esta en la primera posición, si la 2 en la segunda y si la 3 en la tercera:

123 --> 3
132 --> 1
213 --> 1
231 --> 0
312 --> 0
321 --> 1

Fijate en que no existen los 2 aciertos ya que si introducimos dos cartas en sus sobres correctamente la carta que queda necesariamente esta correctamente introducida:

La distribución de probabilidad es

x--- f(x)

0 --- 2/6 = 1/3
1 --- 3/6 =1/2
3 --- 1/6 = 1/6

a)

x --- f(x)

0 --- 1/3
1 --- 1/2
3 --- 1/6

b)

El valor esperado es

E(x) = suma(x*f(x))

E(X)= 0*1/3 + 1*1/2 + 3*1/6

E(X) = 1

Es decir el numero esperado de cartas correctamente ensobradas es 1

COMBINACION(2022) Ejemplos

1) diana tiene 12 libros pero en el estante solo caben 7 ¿de cuantas formas se pueden ordenar los libros en el estante?

Primero calculamos las combinaciones de 12 libros tomados de 7 en 7

C(12,7) = 12!/((12-7)!*7!) = 792 maneras de colocar los 7 libros

Pero cada una de estas maneras los libros el orden de los libros es diferente por lo que para cada manera hay 7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 maneras de ordenar los libros.

Por lo tanto las formas posibles son

792*5040 = 3991680 maneras diferentes de colocar 7 libros en un estante a partir de los 12 libros.

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Hay una formula que permite expresar esto directamente : las variaciones con repetición:

VR(12,7) = 12!/(12-7)! = 3991680 como antes.