1- De acuerdo con las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, los alumnos de segundo grado de secundaria deberían promediar 73.2 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 alumnos de segundo grado de secundaria seleccionados al azar de cierto distrito escolar promedian 76.7, (a) pruebe la hipótesis nula m = 73.2 contra la hipótesis alternativa m > 73.2 en el nivel 0.01 de significancia.
Se calcula el estadístico
Z=(X-media)/(desv/√n)
donde
X=76.7 <-- 2.6521="" calculamos="" desv="8.6" el="" media="73.2" muestral="" n="45" p-valor="" p="" z="(76.6-73.2)">2.6521) = 1-P(Z<2 .6521="" 9960=" 0.0040" m="73.2">73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.2>-->
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lunes, 24 de mayo de 2010
HIPOTESIS
1- De acuerdo con las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, los alumnos de segundo grado de secundaria deberían promediar 73.2 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 alumnos de segundo grado de secundaria seleccionados al azar de cierto distrito escolar promedian 76.7, (a) pruebe la hipótesis nula m = 73.2 contra la hipótesis alternativa m > 73.2 en el nivel 0.01 de significancia.
Se calcula el estadístico
Z=(X-media)/(desv/√n)
donde
X=76.7 <-- br="" media="" muestral="">media=73.2
desv=8.6
n=45
Z=(76.6-73.2) / (8.6/√45) = 2.6521
Calculamos el p-valor
P(Z>2.6521) = 1-P(Z<2 -="" .6521="" 0.9960="0.0040<br" 1="">
Como el p-valor 0.0040 es menor que la significancia 0.01, entonces rechazamos la hipotesis nula m=73.2 y aceptamos la alternativa m>73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.2>-->
Se calcula el estadístico
Z=(X-media)/(desv/√n)
donde
X=76.7 <-- br="" media="" muestral="">media=73.2
desv=8.6
n=45
Z=(76.6-73.2) / (8.6/√45) = 2.6521
Calculamos el p-valor
P(Z>2.6521) = 1-P(Z<2 -="" .6521="" 0.9960="0.0040<br" 1="">
Como el p-valor 0.0040 es menor que la significancia 0.01, entonces rechazamos la hipotesis nula m=73.2 y aceptamos la alternativa m>73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.2>-->
INTERVALO DE CONFIANZA
1- la division de creditos deu n banco comercial grande desea estimar un nivel de confianza del 99% la proporcion de sus creditos que estan en mora. Si el ancho del intervalo es de 7% ¿cuantos creditos deben revisarse?¿Cual es el error tolerable?
Confianza 99% --> Z=2.58
Ancho del intervalo 7% = 0.07 --> d=0.07/2 = 0.035
p es desconocida, tomamos p=0.5
n>=Z²p(1-p)/d²
n>=2.58²*0.5*0.5/0.035² = 1358.45
redondeando a enteros,
n>=1359
Es decir necesitamos un minimo de 1359 creditos para revisar.
Confianza 99% --> Z=2.58
Ancho del intervalo 7% = 0.07 --> d=0.07/2 = 0.035
p es desconocida, tomamos p=0.5
n>=Z²p(1-p)/d²
n>=2.58²*0.5*0.5/0.035² = 1358.45
redondeando a enteros,
n>=1359
Es decir necesitamos un minimo de 1359 creditos para revisar.
INTERVALOS DE CONFIANZA
1- Sabemos que a la población la distribución de la variable HAD sigue una ley normal N (mu=5, sigma=2,6).
Necesito calcula si ******* muestras de tamaño 150 sujetos, estimar la media poblacional de la variable HAD con un nivel de confianza del 95% (alfa=5%), y con un nivel de confianza del 99% (alfa=1%). ¿Cambian los límites del intervalo de confianza? ¿Por que?.
Los intervalos son de la forma
µ ± z(1-α/2) * σ/√n
donde
n=150
µ=5
σ=2.6
Para 95% --> α=0.05 --> P(Z z=1.96
Para 99% --> α=0.01 --> P(Z z=2.58
Intervalo del 95%
5 ± 1.96 * 2.6/√150
5 ± 0.4161
(4.5839 , 5.4161)
Intervalo del 99%
5 ± 2.58 * 2.6/√150
5 ± 0.5477
(4.4523 , 5.5477)
Cambian los limites, debido a que al aumentar la confianza aumenta el valor z de 1.96 a 2.58, con lo que el intervalo gana en amplitud.
Necesito calcula si ******* muestras de tamaño 150 sujetos, estimar la media poblacional de la variable HAD con un nivel de confianza del 95% (alfa=5%), y con un nivel de confianza del 99% (alfa=1%). ¿Cambian los límites del intervalo de confianza? ¿Por que?.
Los intervalos son de la forma
µ ± z(1-α/2) * σ/√n
donde
n=150
µ=5
σ=2.6
Para 95% --> α=0.05 --> P(Z
Para 99% --> α=0.01 --> P(Z
Intervalo del 95%
5 ± 1.96 * 2.6/√150
5 ± 0.4161
(4.5839 , 5.4161)
Intervalo del 99%
5 ± 2.58 * 2.6/√150
5 ± 0.5477
(4.4523 , 5.5477)
Cambian los limites, debido a que al aumentar la confianza aumenta el valor z de 1.96 a 2.58, con lo que el intervalo gana en amplitud.
INTERVALOS DE CONFIANZA
1- Sea (b,c) un intervalo de confianza al 100(1-a)% para la media de la v.a X entonces:
A. Se pude afirmar, con una confianza del 100(1-a)% que la media de X está por encima de b y por debajo de c.
B. se puede afirmar que b y c son los valores minimo y maximo respectivamente de la v.a. X.
C. se puede afimar que los valores de la v.a. X estan entre b y c.
D. Se puede afirmar que b y c son los minimo y maximo de la media de X respectivamente.
Nota la (1-a) es 1 menos alfa.}
a) No, lo que podemos afirmar es que de las veces que calculemos el intervalo de confianza con datos de esa población, la verdadera media poblacional estará entre b y c el 100(1-a)% de las veces.
b) No, son valores minimos y maximos del intrvalo de confianza pero habra datos por debajo de b y por sobre de c
c) No, b y c son los extremos del intervalo no de los datos.
d) No, b y c son los extremos del intervalo de la media no sus valores minimos.
A. Se pude afirmar, con una confianza del 100(1-a)% que la media de X está por encima de b y por debajo de c.
B. se puede afirmar que b y c son los valores minimo y maximo respectivamente de la v.a. X.
C. se puede afimar que los valores de la v.a. X estan entre b y c.
D. Se puede afirmar que b y c son los minimo y maximo de la media de X respectivamente.
Nota la (1-a) es 1 menos alfa.}
a) No, lo que podemos afirmar es que de las veces que calculemos el intervalo de confianza con datos de esa población, la verdadera media poblacional estará entre b y c el 100(1-a)% de las veces.
b) No, son valores minimos y maximos del intrvalo de confianza pero habra datos por debajo de b y por sobre de c
c) No, b y c son los extremos del intervalo no de los datos.
d) No, b y c son los extremos del intervalo de la media no sus valores minimos.
INTERVALOS DE CONFIANZA
1-Sabemos que al lanzar al aire 100 monedas, en el 95% de los casos, la proporción de obtener "cara" está en el intervalo [ 0,1216 ; 0,2784]. Hallar la probabilidad p de un UNA de esas monedas caiga "cara" y comprueba que el intervalo elegido es correcto.
Ya que es un intervalo del 95% la formula del intervalo es
p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)
El valor de p es siempre el valor medio entre los extremos del intervalo:
p=(0,1216+0,2784)/2 = 0.2 --> probabilidad que una de las monedas sea cara.
Ahora comprobamos si el intervalo es correcto, teniendo en cuenta que p=0.2 y n=100
p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)
0.2 ± 1.96*√(0.2*(1-0.2)/100)
0.2 ± 1.96*√0.0016
0.2 ± 1.96*0.04
0.2 ± 0.0784
(0.2-0.0784 , 0.2+0.0784)
(0.1216 , 0.2784)
Comprobamos que en efecto el intervalo es correcto.
Ya que es un intervalo del 95% la formula del intervalo es
p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)
El valor de p es siempre el valor medio entre los extremos del intervalo:
p=(0,1216+0,2784)/2 = 0.2 --> probabilidad que una de las monedas sea cara.
Ahora comprobamos si el intervalo es correcto, teniendo en cuenta que p=0.2 y n=100
p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)
0.2 ± 1.96*√(0.2*(1-0.2)/100)
0.2 ± 1.96*√0.0016
0.2 ± 1.96*0.04
0.2 ± 0.0784
(0.2-0.0784 , 0.2+0.0784)
(0.1216 , 0.2784)
Comprobamos que en efecto el intervalo es correcto.
MEDIA MUESTRAL
👉 Problema 01: 😁
El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es 750g con una desviación estándar de 5g.
El inspector selecciona al azar 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748g.
Bajo estas condiciones, ¿Qué tan probable es tener un peso de 748g o menos? ¿Como puede interpretarse este resultado?
Debemos calcular
P(X<=748)
Estandarizamos con Z=(X-media)/(desv/√n)
X=748 --> Z=(748-750)/(5/√100) = -4
P(X<=748) = P(Z<-4 br="" las="" n="" seg="" tablas="">
P(Z<-4 0.000031671="" br="">
-4>-4>
Bajo estas condiciones, ¿Qué tan probable es tener un peso de 748g o menos? ¿Como puede interpretarse este resultado?
Debemos calcular
P(X<=748)
Estandarizamos con Z=(X-media)/(desv/√n)
X=748 --> Z=(748-750)/(5/√100) = -4
P(X<=748) = P(Z<-4 br="" las="" n="" seg="" tablas="">
P(Z<-4 0.000031671="" br="">
-4>-4>
<-4 br="" las="" n="" seg="" tablas=""><-4 0.000031671="" br="">Es decir es una probabilidad muy muy baja cercana al 0, por lo que debe interpretarse que si la el promedio de las cajas es 748, no es posible mantener la afirmación del gerente que asegura que el peso promedio es de 750. Por lo tanto la afirmación del gerente es errónea.-4>-4>
lunes, 17 de mayo de 2010
INTERVALOS DE CONFIANZA
-Se prueba una muestra aleatoria de 400 componentes electrónicos fabricados por cierto proceso electrónico y se encuentra que 30 están defectuosos.
¿Cuántos componentes se deben muestrear con el propósito de que el intervalo de confianza de 95% especifique la proporción defectuosa dentro de ±0.02?
p=30/400
n>=Z²p(1-p)/d²
95%--> Z=1.96
n>=1.96²30/400*(1-30/400)/0.02²
n>=666.2775
Redondeando a enteros
n>=667
La muestra debe tener 667 componentes o más.
¿Cuántos componentes se deben muestrear con el propósito de que el intervalo de confianza de 95% especifique la proporción defectuosa dentro de ±0.02?
p=30/400
n>=Z²p(1-p)/d²
95%--> Z=1.96
n>=1.96²30/400*(1-30/400)/0.02²
n>=666.2775
Redondeando a enteros
n>=667
La muestra debe tener 667 componentes o más.
MEDIA MUESTRAL (2022) Ejemplos
-Suponga que la población de temperaturas corporales humanas tiene una media
de 98,6°F (37°C), como se cree comúnmente. Suponga también que la
desviación estándar de la población es de 0,62°F. Si se escoge aleatoriamente
una muestra de tamaño 106, calcule la probabilidad de obtener una media
menor a 98.2°F.
Media = 98.6
desv = 0.62
n=106
P(X<98 .2="" br="">
Estandarizamos con Z=(X-Media)/(desv/√n)
X=98.2 --> Z=(98.2-98.6)/(0.62/√106) = -6.6423
P(X<98 .2="" 0="" 1.279017="" br="" decir="" es="" p="" practicamente="">
Por lo tanto
P(X98>98>
de 98,6°F (37°C), como se cree comúnmente. Suponga también que la
desviación estándar de la población es de 0,62°F. Si se escoge aleatoriamente
una muestra de tamaño 106, calcule la probabilidad de obtener una media
menor a 98.2°F.
Media = 98.6
desv = 0.62
n=106
P(X<98 .2="" br="">
Estandarizamos con Z=(X-Media)/(desv/√n)
X=98.2 --> Z=(98.2-98.6)/(0.62/√106) = -6.6423
P(X<98 .2="" 0="" 1.279017="" br="" decir="" es="" p="" practicamente="">
Por lo tanto
P(X98>98>
HIPOTESIS
1. Con gasolina de la marca A, el número medio de millas por galón que recorren 5 automóviles similares en igualdad de condiciones es 22.6 con desviación típica 0.48. Con gasolina de otra marca B, el resultado es 21.4 con desviación típica 0.54. Usando un nivel de significación 0.05, investigar si la marca A es de mejor calidad que la B
1)
tenemos que
Xa=22.6
Xb=21.4
σa=0.48
σb=0.54
n=5
alfa=0.05
Ho : μa - μa=0
H1 : μa - μb>0
Calculamos el estadistico
T=(Xa-Xb-0)/√(σa²/n1+σb²/n2)
Z=(22.6-21.4)/√(0.48²/5+0.54²/5) = 3.71
El p-valor es
P(Z>3.71) = 1-P(Z<3 .71="" 1-0.9999="0.0001<br">
Como 0.0001 es menor que la significación 0.05 rechazamos la hipotesis nula y aceptamos la alternativa : que la marca A es de mejor calidad que B
2) Dos tipos de soluciones química A Y B, han sido probadas para ver su pH (grado de acidez de la solución). el análisis de 6 muestras de A arroja un pH medio de 7.52 con desviación típica 0.024, mientras que 5 muestras de de B dan un pH medio de 7.49 con desviación típica 0.032 usando el nivel de significación 0.05, determinar si los dos tipos de soluciones tienen distinto pH.
2)
tenemos que
Xa=7.52
Xb=7.49
σa=0.024
σb=0.032
n1=6
n2=5
alfa=0.05
Ho : μa - μa=0
H1 : μa - μb≠0
Calculamos el estadistico
T=(Xa-Xb-0)/√(σa²/n1+σb²/n2)
Z=(7.52-7.49)/√(0.024²/6+0.032²/5) = 1.73
El p-valor es
2*P(Z>|1.73|) = 2*(1-P(Z<1 .73="" 0.0836="" 0.9582="" 2="" br="">
como 0.0836 es mayor que la significación 0.05, no podemos rechazar la hipotesis nula por lo que concluimos que los dos tipos de soluciones tienen el mismo pH1>3>
1)
tenemos que
Xa=22.6
Xb=21.4
σa=0.48
σb=0.54
n=5
alfa=0.05
Ho : μa - μa=0
H1 : μa - μb>0
Calculamos el estadistico
T=(Xa-Xb-0)/√(σa²/n1+σb²/n2)
Z=(22.6-21.4)/√(0.48²/5+0.54²/5) = 3.71
El p-valor es
P(Z>3.71) = 1-P(Z<3 .71="" 1-0.9999="0.0001<br">
Como 0.0001 es menor que la significación 0.05 rechazamos la hipotesis nula y aceptamos la alternativa : que la marca A es de mejor calidad que B
2) Dos tipos de soluciones química A Y B, han sido probadas para ver su pH (grado de acidez de la solución). el análisis de 6 muestras de A arroja un pH medio de 7.52 con desviación típica 0.024, mientras que 5 muestras de de B dan un pH medio de 7.49 con desviación típica 0.032 usando el nivel de significación 0.05, determinar si los dos tipos de soluciones tienen distinto pH.
2)
tenemos que
Xa=7.52
Xb=7.49
σa=0.024
σb=0.032
n1=6
n2=5
alfa=0.05
Ho : μa - μa=0
H1 : μa - μb≠0
Calculamos el estadistico
T=(Xa-Xb-0)/√(σa²/n1+σb²/n2)
Z=(7.52-7.49)/√(0.024²/6+0.032²/5) = 1.73
El p-valor es
2*P(Z>|1.73|) = 2*(1-P(Z<1 .73="" 0.0836="" 0.9582="" 2="" br="">
como 0.0836 es mayor que la significación 0.05, no podemos rechazar la hipotesis nula por lo que concluimos que los dos tipos de soluciones tienen el mismo pH1>3>
MEDIA MUESTRAL
-Se estudia un determinado carácter en una población del que se conocen la media y la varianza poblacional, que asciende, respectivamente, a 10 y 25, respectivamente. Calcular la probabilidad de que la media muestral se separe de la poblacional en menos de dos unidades cuando el tamaño de la muestra es 9 y 100.
X =10 --> media muestral
σ=25 --> desviacion
μ --> media poblacional
La desviación de la media muestral es σ/√n
Z=(X-μ)/(σ/√n)
Debemos calcular la probabilidad que |X-μ|<2 -2="" 2="" br="" decir="" entre="" es="" est="" la="" probabilidad="" que="" x-="" y="">
P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n))
1) Para n=9
P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n)) =
P( -2/(25/√9) < Z < 2/(25/√9)) =
P(-0.24
P(0.24) - P(-0.24) = Según las tablas,
0.5948 - 0.4052 =
0.1897
2) Para n=100
P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n)) =
P( -2/(25/√100) < Z < 2/(25/√100)) =
P(-0.8
P(0.8) - P(-0.8) = Según las tablas,
0.7881 - 0.2119 =
0.5762 2>
X =10 --> media muestral
σ=25 --> desviacion
μ --> media poblacional
La desviación de la media muestral es σ/√n
Z=(X-μ)/(σ/√n)
Debemos calcular la probabilidad que |X-μ|<2 -2="" 2="" br="" decir="" entre="" es="" est="" la="" probabilidad="" que="" x-="" y="">
P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n))
1) Para n=9
P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n)) =
P( -2/(25/√9) < Z < 2/(25/√9)) =
P(-0.24
P(0.24) - P(-0.24) = Según las tablas,
0.5948 - 0.4052 =
0.1897
2) Para n=100
P( -2/(σ/√n) < Z < 2/(σ/√n)) =
P( -2/(25/√100) < Z < 2/(25/√100)) =
P(-0.8
P(0.8) - P(-0.8) = Según las tablas,
0.7881 - 0.2119 =
0.5762
INTERVALOS DE CONFIANZA
1-Se han medido los datos de consumo de energía eléctrica en las distintas sedes de un grupo de empresas. Los datos son los siguientes: 575, 488, 601, 444, 683, 485, 798, 561, 231.
Se supone que el consumo de energía eléctrica se distribuye según una ley normal de media 550 y desviación típica 150.
Calcular intervalos de confianza en los casos siguientes:
Para la media poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la varianza poblacional.
Para la varianza poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la media poblacional.
N es el numero de datos, en este caso 9
La media muestral es
Media=540.6667
La desviación muestral es
s=159.2255
a)
Si conocemos las varianza poblacional, (σ=150) el intervalo es
Media ± Z(1-alfa/2)*σ/√n
Para el 95% --> alfa=0.05 Z(1-alfa/2) = Z(0.975) = 1.96
El intervalo es
540.6667 ± 1.96*150/√9
540.6667 ± 98
(442.6667 , 638.6667) <-- 95="" br="" de="" del="" intervalo="" la="" media="">
b)
la varianza muestral es s²=159.2255² = 25352.75985
El intervalo del 95% es
(n-1)s² / X(1-alfa/2,n-1) ≤ σ² ≤ (n-1)s² / X(alfa/2,n-1)
Donde X(1-alfa/2,n-1) y X(alfa/2,n-1) son los valores criticos de la distribución chi-cuadrado.
En este caso
X(0.975,8) = 17.5346
X(0.025,8) = 2.1797
Por lo tanto el intervalo es
8*25352.75985 / 17.5346 ≤ σ² ≤ 25352.75985 / 2.1797
11566.9635 ≤ σ² ≤ 93050.4559 -->
Se supone que el consumo de energía eléctrica se distribuye según una ley normal de media 550 y desviación típica 150.
Calcular intervalos de confianza en los casos siguientes:
Para la media poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la varianza poblacional.
Para la varianza poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la media poblacional.
N es el numero de datos, en este caso 9
La media muestral es
Media=540.6667
La desviación muestral es
s=159.2255
a)
Si conocemos las varianza poblacional, (σ=150) el intervalo es
Media ± Z(1-alfa/2)*σ/√n
Para el 95% --> alfa=0.05 Z(1-alfa/2) = Z(0.975) = 1.96
El intervalo es
540.6667 ± 1.96*150/√9
540.6667 ± 98
(442.6667 , 638.6667) <-- 95="" br="" de="" del="" intervalo="" la="" media="">
b)
la varianza muestral es s²=159.2255² = 25352.75985
El intervalo del 95% es
(n-1)s² / X(1-alfa/2,n-1) ≤ σ² ≤ (n-1)s² / X(alfa/2,n-1)
Donde X(1-alfa/2,n-1) y X(alfa/2,n-1) son los valores criticos de la distribución chi-cuadrado.
En este caso
X(0.975,8) = 17.5346
X(0.025,8) = 2.1797
Por lo tanto el intervalo es
8*25352.75985 / 17.5346 ≤ σ² ≤ 25352.75985 / 2.1797
11566.9635 ≤ σ² ≤ 93050.4559 -->
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