lunes, 13 de diciembre de 2010

ETS RESUELTO DE PROBABILIDAD 2009



LAS RESPUESTAS ESTAN EN EL LINK DE DESKARGA:
http://freakshare.com/files/p41024q2/ets-respuestas.rar.html

DISTRIBUCION BINOMIAL

DISTRIBUCION BINOMIAL
La distribución Binomial es una distribución discreta que posee un gran significado práctico además, representa un medio auxiliar apropiado para la investigación de regularidades de fenómenos aleatorios, que son de importancia fundamental para la teoría de probabilidades y para su aplicación práctica.
Sea n un número natural arbitrario y p, un número situado entre cero y uno. Una variable aleatoria X que tome los valores 0,1,2,...,n se denomina distribuida binomialmente con los parámetros n y p ,



Condiciones que debe cumplir una Distribución Binomial

Un experimento aleatorio se llama pascal o binomial negativa, si cumple con:
1- El experimento consta de ensayos independientes.
2- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y Fracaso.
3- La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q=1-p , y se mantienen constantes de ensayo en ensayo.
4- El experimento termina cuando ocurre el n-ésimo éxito.

EJERCICIOS RESUELTOS


Problema 01:

Sólo el 20% de los empleados son civiles en una base militar. Si 10 empleados de la base llegan, ¿Cual es la probabilidad que el guardia encuentre:

a) Entre 4 y 7 empleados; inclusive que sean civiles
b) 8 empleados civiles
c) Menos de 2 y más de 7 sean civiles.

DISTRIBUCION BINOMIAL

Sólo el 20% de los empleados son civiles en una base militar. Si 10 empleados de la base llegan, ¿Cual es la probabilidad que el guardia encuentre:

a) Entre 4 y 7 empleados; inclusive que sean civiles
b) 8 empleados civiles
c) Menos de 2 y más de 7 sean civiles.

La formula de la distribución binomial es

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

En este caso

n=10
p=0.20

P(X=x) = C(10,x) * 0.2^x * 0.8^(10-x)

a)

P(4<=X<=7) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)

P(X=4) = C(10,4) * 0.2^4 * 0.8^(10-4) = 0.0881
P(X=5) = C(10,5) * 0.2^5 * 0.8^(10-5) = 0.0264
P(X=6) = C(10,6) * 0.2^6 * 0.8^(10-6) = 0.0055
P(X=7) = C(10,7) * 0.2^7 * 0.8^(10-7) = 0.0008

P(4<=X<=7) = 0.0881 + 0.0264 + 0.0055 + 0.0008 = 0.1208

b)

P(X=8) = C(10,8) * 0.2^8 * 0.8^(10-8) = 0.000074

c)

P(X<2) + P(X>7) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)

P(X=0) = C(10,0) * 0.2^0 * 0.8^(10-0) = 0.1074
P(X=1) = C(10,1) * 0.2^1 * 0.8^(10-1) = 0.2684
P(X=8) = C(10,8) * 0.2^8 * 0.8^(10-8) = 0.0001
P(X=9) = C(10,9) * 0.2^9 * 0.8^(10-9) = 0.000004
P(X=10) = C(10,10) * 0.2^10 * 0.8^(10-10) = 0.0000001

Sumando,
P(X<2) + P(X>7) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = 0.3759

sábado, 4 de diciembre de 2010

DISTRIBUCION BINOMIAL


                                  EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros se accidentan cada año. Cual es la probabilidad de que por lo menos 3 de una muestra de 7 vehículos asegurados, se haya accidentado?

Es un caso de distribución binomial


Problema 02:

35% de los jóvenes que asisten a un restaurant fuman. Si se escogen al azar 5 jóvenes, calcula la probabilidad de que:
a. Ninguno fume.
b. Más de 3 fumen.
c. Cuando mucho 2 fumen.
d. Exactamente 5 fumen.
e. Encuentra el valor esperado y la varianza del número de jóvenes fumadores.


Problema 03:

Suponga que para un embarque muy grande chips de circuitos integrados, la probabilidad de falla para cualquier chip es de 0,10. Suponga que se cumplen las suposiciones en que se basan las distribuciones binomiales ¿encuentre la probabilidad de que a lo más 3 chips fallen en una muestra aleatoria de 20?

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Una variable aleatoria continua es aquella que puede adoptar cualquier valor en el marco de un intervalo que ya esta predeterminado .

EJERCICIOS RESUELTOS

Suponga que f (x) = 0,25, para 0 < X < 4. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria continua X.

Media= integral de 0 a 4 de xf(x) = 0.25x

E(x)= 0.25*x^2/2 (x=0,4) --> 0.25*4^2/2 - 0.25*0^/2 = 2

Varianza = E(X^2) - E(X)^2

E(X^2) = integral de 0 a 4 de x^2*f(x) = 0.25x^2

E(x^2)= 0.25*x^3/3 (x=0,4) --> 0.25*4^3/3 - 0.25*0^/3 = 5.33333

Varianza = E(X^2) - E(X)^2 = 5.3333 - 2^2 = 1.33333

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Una variable aleatoria se llama Discreta, si puede aceptar un número finito o infinito numerable de valores, es decir si el dominio de valores en un conjunto a lo sumo numerable.

EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

1. Sea X una variable aleatoria discreta.

Determine el valor de k para que la función f (x)=k / x, x = 1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad

de X. Determine además  P (1 =< X =< 3).

TEOREMA DE BAYES

La probabilidad que un hombre casado vea cierto programa de la televisión, es 40%, la probabilidad que su esposa vea el mismo programa es 50% y la probabilidad que el hombre vea el programa dado que su esposa lo vio es 70%. ¿cual es la probabilidad que al menos uno de los esposos vea el programa?

H --> el hombre ve el programa
M --> la mujer ve el programa.

P(H)=0.40
P(M)=0.50
P(H|M)=0.70 --> P(H|M)=P(H y M)/P(M) --> P(H y M) = P(H|M)*P(M) = 0.70*0.50 = 0.35

Debemos calcular la probabilidad que al menos uno de los esposos vea el programa:

P(H o M) =P(H) + P(M) - P(H y M) = 0.40 + 0.50 - 0.35 = 0.55

DISTRIBUCION DE POISSON



DISTRIBUCION DE POISSON: Este modelo  estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervalos continuos, de tiempo,áreas,volúmenes, etc.

Este modelo tiene muchas aplicaciones. Se emplea generalmente en donde, se desea optimizar los tiempos, tanto de espera como de servicio, a este tipo de problemas se les estudia en el área de investigación de operaciones en Lineas de Espera o Teorías de Colas.

Condiciones que debe cumplir un proceso de poisson

1- Los resultados de intervalos que no tienen puntos en común, son independientes.
Esto es, los resultados que ocurren en  son independientes de los que transcurren en el intervalo  cuando los intervalos son disjuntos. Se dice que el experimento de poisson en su ejecución no tiene memoria.

2- La probabilidad, de que en un resultado ocurra en un intervalo de tiempo mucho muy pequeño

  es una cantidad de orden  . Esto es, la probabilidad de obtener exactamente  un resultado en un intervalo, suficientemente pequeño, es proporcional a la longitud del intervalo.

3- La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en el transcurso del intervalo 
    es una cantidad mucho mas pequeña en comparación con  .
 
    Esto significa que la probabilidad de obtener 2 ó mas resultados en un intervalo sumamente                pequeño es despreciable.



EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

En una clínica el promedio de atención es 16 pacientes por 4 horas, encuentre la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas y que en 180 minutos se atiendan 12 pacientes.

Usamos la distribución de Poisson


Problema 02:


Problema 03:

Problema 04:

Los reportes de crímenes recientes indican que 3.2 de los robos de vehículos motorizados ocurren cada minuto en estados unidos. Suponga que la distribución de los robos por minuto puede calcularse con la distribución de probabilidad de poisson. 

 a)¿calcule la probabilidad de que ocurran cuatro robos exactamente en un minuto.

 b)¿cuál es la probabilidad de que en un cuarto de hora cualquiera ocurran exactamente 45 robos?

Problema 05:
Suponga que la agencia de protección ambiental (APA) es quien establece los estándares para Garantizar la calidad de las emisiones de aire por parte de las empresas. El límite máximo Permitido de cobre en las emisiones es de 10 partículas por millón y usted trabaja en una empresa Donde el valor medio en sus emisiones es de cuatro partículas por millón. 

 a) Si se define X como el número de partículas por millón en una muestra ¿Cuál es la desviación estándar de X en su empresa?

 b) Si el número medio de partículas por millón en su empresa es efectivamente de cuatro por millón ¿Tendría usted temor de que la agencia lo multe por contaminar el aire?

EJERCICIO RESUELTO

- En los últimos años hay dos tendencias muy difundidas en cuestiones de salud. Una
referente a la dieta y otra referente al ejercicio. Si las dos “creencias” son independientes,es decir quienes siguen una dieta sana no hacen ni más ni menos ejercicio que los que nollevan una dieta sana. El 40% de las personas hacen ejercicio y el 10% son adictos a dietas
integrales, baja en grasas.
a. Qué proporción de ellos hacen trote y sigue una dieta sana
b. Qué proporción hace gimnasia pero no sigue una dieta sana
c. Qué porcentaje come sano pero no hace ejercicio.
d. Si elegimos tres personas al azar, Cuál es la probabilidad de que las tres sean
partidarias de la comida sana?
e. Cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres sea adicta a estos comportamientos.

E-->ejercicio
D-->adictos a dietas

P(E)=0.40
P(D)=0.10

a)

P(E y D) = P(E)P(D) = 0.40*0.10 = 0.04

b)

P(E y no D) = P(E) * (1-P(D)) = 0.40 * (1-0.10) = 0.40*0.90 = 0.36

c)

P(no E y D) = (1-P(E)) * P(D) = (1-0.40) * 0.10 = 0.60*0.10 = 0.06

d)

P(D)^3 = 0.10^3 = 0.001

e) P(noD)^3 = (1-P(D))^3 = (1-0.10)^3 = 0.90^3 = 0.729

propiedades de probabilidad

Una facultad tiene los datos sobre la EDAD Y EL ESTADO CIVIL DE 140 ESTUDIANTES.



EDAD .................................... ESTADO CIVIL

MENOR QUE 30 AÑOS: SOLTERO(A)=77 CASADO(A)=14 DIVORCIADO(A)=20

ENTRE 30 A 40 AÑOS: SOLTERO(A)=49 CASADO(A)=28 DIVORCIADO(A)=56

MAYOR QUE 40AÑOS: SOLTERO(A)=10 CASADO(A)=91 DIVORCIADO(A)=46



a) ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los estados maritales de los estudiantes?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar, TENGA MENOS DE 30 AÑOS "O" SEA DIVORCIADO?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar, TENGA MÁS DE 40 AÑOS "Y" SEA SOLTERO?

d) Si un estudiante nos dice que es casado, ¿Cuál es la probabilidad de que TENGA ENTRE 30 A 40 AÑOS?

El total de datos no es 140 es 77 + 14 +20 + 49 + 28 + 56 + 10 + 91 + 46 = 391

Edad --- Soltero --- Casado --- Divorciado

<30 ----="" ---="" 14="" 20="" 77="" br="">
30-40 --- 49 --- 28 --- 56

>40 ---- 10 --- 91 ---46


a)

Solteros = 77+49+10 = 136 --> prob=136/391 = 0.3478

Casados = 14+28+91 =133 --> prob=133/391 = 0.3402

Divorciados = 20+56+46 =122 --> prob=122/391 = 0.3120

b)

P(<30 391="111/391<br" a="" os="(77+14+20)">
P(Divorciado) = 122/391

P(<30 20="" br="" divorciado="" y="">
P(<30 -="" 0.5448="" 111="" 122="" 20="" 213="" br="" divorciado="" ivorciado="" o="" p="" y="">
c) en el grupo de 40 años hay 10 solteros

p=10/391 = 0.0256

d)

P(30-40 / casado) = P(30-40 y casado) / P(casado)

Hay 28 casado entre los estudiantes de 30 a 40, P(30-40 y casado)=28/391

P(30-40 / casado) = 28/391 / 133/391 = 28/133 = 0.2105

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Un experimento aleatorio se llama Hipergeométrico si cumple con las condiciones:

1- El experimento se realiza considerando un lote de tamaño N en el cual sus elementos están divididos en dos clases de tamaños m y N-m.
2- Se toma una muestra de tamaño n, sin remplazo, del lote.
3- Se calculan las probabilidades cuando k elementos de una de las clases estén en la muestra de tamaño n.

Si  es una variable hipergeometrica con m éxitos en una población de tamaño N de la cual se elige una muestra sin reemplazo de tamaño n: entonces:






                                  EJERCICIOS RESUELTOS


Problema 01:

5 fabricantes producen en determinado dispositivo cuya calidad varia de un fabricante a otro. si usted elige 3 fabricantes al azar, hallar la probabilidad que la selección contenga 2 de las 3 mejores.

Es un caso de distribución hipergeométrica:

Solución Inciso a)

La distribución hipergeometrica tiene por 


Formula                


                             


                                    Tamaño de población

                      Elementos Favorables en la población

                                      Tamaño de la muestra

                               


Sustituyendo los valores de la  Formula:


         


Problema 02:


En un lote de 10 proyectiles se disparan 4 al azar si el lote contiene 5 proyectiles que no disparan.

a)¿Cual es la probabilidad de que los 4 disparen?

b)¿Cuantos de los 4 se espera que disparen?


Solución Inciso a)

La distribución hipergeometrica tiene por 


Formula                


                        

                  

                                 Proyectiles

                        Proyectiles Defectuosos

                                     Muestra

                            


Sustituyendo los valores de la  Formula:





Solución Inciso b)

  Formula                


                             



Sustituyendo los valores de la  Formula:


                    




Problema 03:

En Una oficina donde se ensamblan computadoras, en una mesa hay 20 chips de los cuales 6 están malogrados. Primero llega el Sr. Gates y recoge 8 chips y más tarde llega el Sr. Apple y se lleva los restantes. Halle la probabilidad que solamente uno de ellos se haya llevado todos los chips defectuosos.

Solución Inciso a)

La distribución hipergeometrica tiene por 


Formula                


                        

             

Consideremos : Chips que se lleva el Sr. Gates.

Usamos una distribución hipergeometrica.

                                Poblacion

                                Chips defectuosos

                                     Muestra

                         

Sustituyendo los valores de la  Formula:

Que solamente uno de ellos se lleve todos los chips es que:

  Gates no se lleva ninguno defectuosos, Apple los otros.

  Gates no se lleva todos los defectuosos,Apple los otros.






La suma de esto nos da la probabilidad de 0.0245