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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Resistencia de materiales Problemas resueltos

RESISTENCIA DE MATERIALES

Mecanica de Materiales II

DISTRIBUCION BINOMIAL (2022) Ejemplos

+ EJEMPLOS DE DISTRIBUCION BINOMIAL

👉     Problema 01:😆

La revisión aduanal se efectúa en el aeropuerto aleatoriamente de la siguiente manera: En la salida se encuentra un semáforo si al pasar la personas se activa la luz roja se realizará la revisión; en caso de activarse la verde el viajero sale tranquilamente sin revisión.

a) La luz roja sale con una frecuencia del 10%, si se consideran 18 viajeros, ¿Cuál es la probabilidad de que más de uno y a lo más 4 sean revisados?

b) Si la luz roja aparece con una frecuencia del 15%, ¿Cuál es la probabilidad de que antes de la cuarta persona que pase en el semáforo, se tenga la primera que va a ser revisada?

Solución Inciso a)

Utilizamos la distribución binomial.

                       Probabilidad de revisión
 

                       

                                   Numero de personas revisadas

La formula es

            

En este caso

P(X=x) =C(18,x) * 0.10^x * 0.90^(18-x)

Debemos calcular la probabilidad

P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=1) =C(18,1) * 0.10^1 * 0.90^(18-1) = 0.3002
P(X=2) =C(18,2) * 0.10^2 * 0.90^(18-2) = 0.2835
P(X=3) =C(18,3) * 0.10^3 * 0.90^(18-3) = 0.1680
P(X=4) =C(18,4) * 0.10^4 * 0.90^(18-4) = 0.0700

P(1<=X<=4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(1<=X<=4) = 0.8217

Solución Inciso b)

La función de probabilidad acumulada de la distribución geometrica ( P(X=x) = p(1-p)^(x-1) es

P(X<=n) = 1 - (1-p) ^n

n=4
p=0.15

P(X<=4) = 1 - (1-0.15)^4 = 0.4780

👉     Problema 02:😆

Suponga que una compañía de seguros de vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios realizados muestran que la probabilidad de que un hombre de 42 años fallezca en un cierto año es de 0.001, calcule la probabilidad de que la compañía pague durante un año dado:

%

2)

p=0.001
n=5000

Debemos calcular la probabilidad P(X>=1), es decir la probabilidad que fallezca algun hombre y la compañía pague. Esta probabilidad es lo contraria a que no pague, es decir que no fallezca ninguno de los 5000 hombres, esta probabilidad es

P(X=0) = (1-p)^n = (1-0.001)^5000 = 0.0067

Por lo tanto la probabilidad que fallezca alguno y la compañía tenga que pagar es

P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-(1-p)^n = 1-0.0067 = 0.9932    

INTERVALOS DE CONFIANZA

-Se prueba una muestra aleatoria de 400 componentes electrónicos fabricados por cierto proceso electrónico y se encuentra que 30 están defectuosos.
¿Cuántos componentes se deben muestrear con el propósito de que el intervalo de confianza de 95% especifique la proporción defectuosa dentro de ±0.02?

p=30/400

n>=Z²p(1-p)/d²

95%--> Z=1.96

n>=1.96²30/400*(1-30/400)/0.02²

n>=666.2775

Redondeando a enteros

n>=667

La muestra debe tener 667 componentes o más.

Una urna contiene 4 bolas con los números 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se toman dos bolas de la urna sin sustitución y X representa la suma de los números de las dos bolas extraídas. Determine la función de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza de la variable aleatoria 

1) Posibilidades 

 Bolas --- Suma 

 1,2 --> 3 

 1,3 --> 4 

 1,4 --> 5

 2,1 --> 3 

 2,3 --> 5 

 2,4 --> 6 

 3,1 --> 4 

 3,2 --> 5 

 3,4 --> 7 

 4,1 --> 5 

 4,2 --> 6 

 4,3 --> 7 

Hay 2 posibilidades con suma 3, 2 con suma 4, 4 con suma 5 2 con suma 6 y 2 con suma 7 es decir 

 X --- frecuencia 

 3 --- 2 

 4 --- 2 

 5 --- 4 

 6 --- 2 

 7 --- 2 

Tenemos 2+2+4+2+2=12 posibilidades por lo que las probabilidades son 

 3 --- 2/12 = 1/6 

 4 --- 2/12 = 1/6 

 5 --- 4/12 = 1/3 

 6 --- 2/12 = 1/6 

 7 --- 2/12 = 1/6 

por lo tanto la función de probabilidad es

 X -- f(x) 

 3 --- 1/6 

 4 --- 1/6 

 5 --- 1/3 

 6 --- 1/6 

 7 --- 1/6 

 E(x)= suma de x*f(x)

 E(x)= 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/3+6*1/6 + 7*1/6 

 E(X)=5 

 La varianza es la suma de f(x)*(x-E(X))² 

 V(X)=1/6*(3-5)² + 1/6*(4-5)² + 1/3*(5-5)² +1/6*(6-5)² + 1/6*(7-5)² 

 V(X)=5/3 

 Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dólares en un año con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de 1.000 dólares con probabilidad de 0.7. Cuál sería la ganancia esperada de esa persona. 

 2) 

 X --- p(x) 

 4000 --- 0.3 

-1000 --- 0.7 

 E(X) = suma x*p(x) 

 E(X)=4000*0.3+(-1000)*0.7 = 

 E(X)=500

MEDIA MUESTRAL (2022) Ejemplos

-Suponga que la población de temperaturas corporales humanas tiene una media
de 98,6°F (37°C), como se cree comúnmente. Suponga también que la
desviación estándar de la población es de 0,62°F. Si se escoge aleatoriamente
una muestra de tamaño 106, calcule la probabilidad de obtener una media
menor a 98.2°F.

Media = 98.6
desv = 0.62
n=106

P(X<98 .2="" br="">
Estandarizamos con Z=(X-Media)/(desv/√n)

X=98.2 --> Z=(98.2-98.6)/(0.62/√106) = -6.6423

P(X<98 .2="" 0="" 1.279017="" br="" decir="" es="" p="" practicamente="">
Por lo tanto

P(X