sábado, 29 de enero de 2011

DISTRIBUCION GEOMETRICA

DISTRIBUCION GEOMETRICA:

Un Experimento aleatorio se llama geométrico, si cumple con:

1- El experimento consta de ensayos independientes.
2- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y Fracaso.
3- La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q=1-p, y se mantienen constantes de ensayo en ensayo.
4- El experimento termina cuando ocurre el primer éxito en un ensayo.



Definición de Variable aleatoria Geométrica:

A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento geométrico que representa a la cantidad de pruebas necesarias hasta obtener el primer éxito se le llama Variable aleatoria Geométrica.

Ejemplo:

1- Al lanzar una moneda perfecta se puede definir a la variable aleatoria:

 X:"cantidad de lanzamientos hasta que resulte la primera águila"

2- Si el 35% de la población, del DF., esta a favor del candidato cuauhtemoc cárdenas, para las elecciones del 2000, podemos definir a la variable aleatoria:

X:"Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que este en favor del candidato."

3- Si una maquina despachadora de refrescos arroja un poco mas de 200 ml. por vaso derramándose el liquido en un 5%, de los vasos despachados. Podemos definir a la variable aleatoria:

X:"Cantidad de vasos despachados, hasta obtener el primero que se derramara"


Simbolizaremos por G(k;p)= p=(x=k) a la probabilidad de que el primer exito ocurra en el ensayo k. La formula para calcular las probabilidades de un Modelo Geometrico estara dada por el siguiente teorema:

 Si x es una variable aleatoria geométrica, con éxito p y fracaso

 q=1-p, entonces:

                   
                         


EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

1- Tres personas tiran una moneda al aire y el disparejo pagara los refrescos. Si los tres resultados son iguales, las monedas se tiran nuevamente hasta que resulte el primer perdedor.


a) encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 intentos para determinar el perdedor.

b) ¿en cuántos intentos se espera obtener al perdedor?






Problema 02:



Problema 03:

Se estima que el 70 % de una población de consumidores prefiere una marca en particular de pasta de dientes A ¿cuál es la probabilidad que al entrevistar a un grupo de consumidores. 

a) sea necesario entrevistar exactamente 4 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A?

 b) Se tenga que entrevistar a lo más 6 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A?





 Problema 04:

La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es de 0.01 si se supone que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. 

¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 muestras antes de detectar una molécula rara?




Problema 05:

Sea una máquina despachadora de refrescos que arroja un poco más de 20 ml por vaso derramándose el líquido en un 5% de los vasos despachados. Podemos definir la variable aleatoria X: “cantidad de vasos despachados hasta obtener el primero que se derramará” Considere que la forma de despachar el líquido por la máquina es independiente de vaso en vaso. 

a) calcule la probabilidad de que el primer vaso que se derrame se encuentre después del 15vo. Vaso despachado. 

b) Qué vaso despachado se espera sea el primero en el que se derrame el líquido.



Problema 06:

Un inspector de la SECOFI ha encontrado que en 6 de 10 tiendas que visita se presentan irregularidades. Si el inspector visita una serie de tiendas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que: 

a) la primera tienda con irregularidades fuera encontrada después de revisar la cuarta?

 b) ¿cuántas tiendas se espera que tenga que visitar para encontrar la primera con irregularidades?