sábado, 29 de enero de 2011

DISTRIBUCION UNIFORME



DISTRIBUCION UNIFORME: En las distribuciones continuas se suele comenzar con un modelo sencillo, pero de gran importancia en diferentes áreas de estudio en donde las variables aleatorias se distribuyen uniformemente en un intervalo finito (a,b) ó (a,b). Un modelo probabilístico continuo es de tipo uniforme, cuando la variable aleatoria continua que en él se define está distribuida en el intervalo (a,b) de tal forma que la probabilidad en un subintervalo cualesquiera, depende sólo de la longitud. Por consiguiente, su función de densidad dependerá de los valores de sus parámetros a y b. Formalizando el modelo tendremos lo siguiente.

Si x en una variable aleatoria continua del experimento realizado diremos que tiene una distribución uniforme con parámetros a y b , cuando su función de densidad de probabilidad esta distribuida en el intervalo (a,b)

                                   FUNCIÓN DE DENSIDAD

                               

Facilmente se comprueba que efectivamente la funcion anterior es una funcion de densidad de probabilidad puesto que no es negativa y la integral en todos los numeros reales vale uno.

El calculo de dicha integral se reduce al area del rectangulo con base igual a:

                                     y altura  

Si x es una variable aleatoria continua con distribucion uniforme en (a,b) y , f(x) es su funcion de densidad de probabilidad, entonces

                              
ESPERANZA MATEMÁTICA LLAMADO TAMBIÉN VALOR ESPERADO

                             

    DESVIACIÓN ESTÁNDAR LLAMADO TAMBIÉN VARIANZA
                                
                                 

                           FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

                     


DEMOSTRACIÓN  DE LAS FORMULAS DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Empleando las formulas para el valor esperado, la variancia y la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.


DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DEL VALOR ESPERADO





               DEMOSTREMOS LA EXPRESIÓN PARA LA VARIANZA











                                    EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

Sea la variable aleatoria continua   la corriente medida, en miliamperes,en un alambre delgado de cobre. supongase que el rango de  es  mA y que la función de densidad de probabilidad de  es   ,    .

a)¿Cual es la probabilidad de que una medición de corriente este entre 5 y 10 miliamperes?
b) Obtenga la media y la varianza de 

Solución Inciso a)





La probabilidad se calcula por:





Solución Inciso b)







Problema 02:

Suponga un experimento en el que de alguna manera se hace medición  al azar y esta tiene una distribución uniforme en el intervalo . Calcule la probabilidad de que la medición
este entre 1.5 y 2.

a) Por medio de su función de densidad.
b)Por medio de su función acumulada.

Solución Inciso a)

a) Sea   la variable aleatoria continua definida en el experimento, se ha mencionado en las condiciones del problema que  tiene una distribución en . Por lo tanto, su función de densidad estará dada por:




La probabilidad se calcula por:




Solución Inciso b)

De forma similar al inciso (a), tenemos que su función acumulada  de  estará dada por :

         



Por lo tanto, la probabilidad , se puede calcular de la siguiente manera:


         

            




Problema 03:


Suponga un experimento en el que de alguna manera se hace una medición al azar y esta puede estar distribuida uniformemente en el intervalo  , Se realizan cinco mediciones independientes.
¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellas estén entre 1 y 2?

Solución Inciso a)

Primero definimos a la variable aleatoria continua  de forma similar que en el ejemplo anterior, para una sola medicion, en donde ella tiene una distribución uniforme en  , y calculamos la probabilidad de que dicha medida se encuentre entre 1 y 2.

                        

Posteriormente definimos a la variable discreta, Y: " Cantidad de mediciones que resultan entre 1 y 2"

Ahora note que en este caso se tienen 5 ensayos independientes con probabilidad de éxito igual a:

                       

Por lo tanto, se trata de un modelo binomial con parámetros:

                                         

                                       

Así     






Problema 04:

La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en diez miles de galones )con una función de densidad de probabilidad como se indica abajo.

a) calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes;


 b) determine la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado.

Solución Inciso a)


                                    Función de Densidad




                                  

                                   Distribución Uniforme (0,3)


a)     Es la integral entre 0.8 y 1.2 de     


La integral Indefinida es :

                                         

y la probabilidad


                                           




Solución Inciso b)

Es una distribución continua con parámetros         y su  media es:





Se calcula la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado:







Problema 05:

Las ventas de combustibles en una gasolinera tienen una media de 40 000 litros por día y un mínimo de 30 000 litros por día. Supongamos que una distribución uniforme es apropiada.

a)Determine las ventas máximas diarias

b)¿Que porcentaje de días las ventas excederán de 34 000 litros?

Solución Inciso a)

                          Formula   



Sustituyendo los valores de la formula:

                                  

Despejando b :

                             


                           

                                


          Ventas máximas diarias :        


Solucion Inciso b)








Porcentaje de Ventas %         %





Problema 06:

Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo -en minutos- de maquinado de una pieza se modela con una distribución uniforme (10,20). Calcula la probabilidad de que:
a) Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.

Solución Inciso a)


La distribución uniforme tiene una función de probabilidad de:

                       

                                   La probabilidad Acumulada

Formula:

                         


Que representa                   



En este caso :

                                      


Sustituyendo los valores de la formula nos queda:





Problema 07:

Suponga que  tiene una distribución uniforme continua en el intervalo .

a) Calcule la media y la varianza de .


Solución Inciso a)

         

             


             




Problema 08:


Suponga que    tiene una distribución uniforme continua en el intervalo .

a) Calcule la media y la varianza de .


Solución Inciso a)