sábado, 29 de enero de 2011

DISTRIBUCION UNIFORME



DISTRIBUCION UNIFORME: En las distribuciones continuas se suele comenzar con un modelo sencillo, pero de gran importancia en diferentes áreas de estudio en donde las variables aleatorias se distribuyen uniformemente en un intervalo finito (a,b) ó (a,b). Un modelo probabilístico continuo es de tipo uniforme, cuando la variable aleatoria continua que en él se define está distribuida en el intervalo (a,b) de tal forma que la probabilidad en un subintervalo cualesquiera, depende sólo de la longitud. Por consiguiente, su función de densidad dependerá de los valores de sus parámetros a y b. Formalizando el modelo tendremos lo siguiente.

Si x en una variable aleatoria continua del experimento realizado diremos que tiene una distribución uniforme con parámetros a y b , cuando su función de densidad de probabilidad esta distribuida en el intervalo (a,b)

                               

Facilmente se comprueba que efectivamente la funcion anterior es una funcion de densidad de probabilidad puesto que no es negativa y la integral en todos los numeros reales vale uno.

El calculo de dicha integral se reduce al area del rectangulo con base igual a:

                                     y altura  

Si x es una variable aleatoria continua con distribucion uniforme en (a,b) y , f(x) es su funcion de densidad de probabilidad, entonces

                             


                                  

                     


DEMOSTRACIÓN  DE LAS FORMULAS DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Empleando las formulas para el valor esperado, la variancia y la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.


DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DEL VALOR ESPERADO





               DEMOSTREMOS LA EXPRESIÓN PARA LA VARIANZA











                                    EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en diez miles de galones )con una función de densidad de probabilidad como se indica abajo.

a) calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes;


 b) determine la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado.

Solución Inciso a)


                                    Función de Densidad




                                  

                                   Distribución Uniforme (0,3)


a)     Es la integral entre 0.8 y 1.2 de     


La integral Indefinida es :

                                         

y la probabilidad


                                           




Solución Inciso b)

Es una distribución continua con parámetros         y su  media es:





Se calcula la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado:







Problema 02:

Las ventas de combustibles en una gasolinera tienen una media de 40 000 litros por día y un mínimo de 30 000 litros por día. Supongamos que una distribución uniforme es apropiada.

a)Determine las ventas máximas diarias

b)¿Que porcentaje de días las ventas excederán de 34 000 litros?

Solución Inciso a)

                          Formula   



Sustituyendo los valores de la formula:

                                  

Despejando b :

                             


                           

                                


          Ventas máximas diarias :        


Solucion Inciso b)








Porcentaje de Ventas %         %





Problema 03:

Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo -en minutos- de maquinado de una pieza se modela con una distribución uniforme (10,20). Calcula la probabilidad de que: a) Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.