sábado, 12 de marzo de 2011

DISTRIBUCION NORMAL (2022) Ejemplos

  • + EJEMPLOS DE DISTRIBUCION NORMAL

  •  DISTRIBUCION NORMAL:

    La Distribución Normal es una distribución de variables aleatorias   continuas, que se utiliza mucho en aplicaciones de cálculo de probabilidades.

    Es un modelo continuo con mayor aplicación en la probabilidad y la estadística; el modelo normal o distribución normal fue encontrada por Carl Friedrich Gauss por lo que se le conoce como: " Ley de Probabilidad de Gauss".

    Definición: Sea X una variable aleatoria continua. Se dice que X tiene una distribución normal o de Gauss, con parámetros     y    (positivo) en todos los reales cuando su función de densidad de probabilidad es:



                   en    

    Los modelos de distribución normal se caracterizan por la forma de la grafica de su función de densidad, la grafica de la distribución normal tiene forma de campana como en la grafica siguiente:

                                      Grafica  Distribución Normal 



    El modelo de distribución normal tiene una gran aplicación en diferentes áreas y es una de las distribuciones con auge en las probabilidades y estadísticas, la dimensión de importancia radica en el "teorema de limite central " 

    TEOREMA: 

    Si X es una variable aleatoria continua distribuida normalmente en  y f(x) su función de densidad de probabilidad, entonces:

                   a)                            b)  


          PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

    a) Propiedad de Simetría: La función f(z) es simétrica con respecto al eje de las ordenadas. Es decir, 

     .

    b) Propiedad del Complemento: En los casos de  se puede emplear la simetría, inciso a, o el complemento. Es decir  .

    c)      

    d)      

    e) La Suma de probabilidades fuera del intervalo , no puede ser mayor a 0.0001,es decir, casi vale Cero.

                                  EJERCICIOS RESUELTOS

    👉     Problema 01:😆

    Dada una variable aleatoria continua X, cuya distribución de probabilidad es , en la que el 10.03 % del área bajo la curva está a la izquierda de x=60, y 5.05 % del área está a la derecha de x=90, determine los valores de la media y desviación estándar?

    Solución Inciso a)

    Para la solución de este ejercicio se Utiliza el Sistema de  Ecuación de 2 incógnitas.

                       

                                                            

                      

                                             


     Estandarizamos mediante:

                                         

    Despejamos:
                                       


    Sustituimos los valores de  y  en el despeje de la ecuación:

                 ...........Ecuación (1)

                              ............ Ecuación (2)

     
    Haciendo las operaciones de la Ley de Signos, La primera Ecuación nos  queda:                       
                          

                          ...........Ecuación (1)

                            ............. Ecuación (2)


    Sumando los valores de  y  de la Ecuación 1 y 2 nos queda:

                                 
                                              

                                                 

                                                


    Sustituyendo el valor de la desviación estándar en la segunda ecuación nos queda:

                                        

                             

                                       

                                       

                                              



    👉     Problema 1.1:😆


    El peso de los estudiantes de una universidad se distribuye normalmente con un valor promedio de 68 kg y desviación estándar 5 kg.

     Si se tienen 5000 estudiantes y los 550 estudiantes mas pesados serán sujetos a un examen medico.

    a) ¿Cuál es el peso mínimo para someter un estudiante al examen?

    b) Cuantos estudiantes de los 5000 se espera que pesen entre 70 y 75 kg.


    Paso Número 1. debemos calcular el valor de Z tal que:                                  

     

                                            

                                            

                                   
                                  


     o   lo que es lo mismo:


                           

                                   

    Solución Inciso a)
                                     
                                         



    Buscando en el interior de la tabla de la distribución normal estandarizada   el valor de Z es:

                                    
                                         

    El valor de X es:



                                     

                           

                                      


    Es decir que el peso mínimo de los 550 estudiantes mas pesados es de 74.1325 Kg.




    Solución Inciso b)


                                  



    Estandarizamos mediante:

                                         

                   

                   



    Por lo tanto:


                                     

                                 

                        

                                   
        

                                               


    Multiplicamos por los 5000 estudiantes

                       
                           


    Se espera que unos 1319.108 estudiantes pesen entre 70 y 75 Kg.

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    👉     Problema 1.2: 😆



    Si      Y    ; Calcule la probabilidad  



    Para la solución de este problema de distribución normal aplicamos el teorema y nos dará el valor promedio de este ejercicio:

            Teorema  Aplicado              

             Datos del problema        

                      Valor promedio :         


    Solución de la varianza aplicando nuevamente el teorema para que nos de la desviación estándar:

           Teorema Aplicado            


           Datos del problema          


           Desviación estándar             

                                                 


    Para esto, primero realizamos la estandarización de la variable X y después empleamos las tablas de la distribución normal estándar.  

    Solución Inciso a)

     Estandarizamos mediante la Formula:

                                                                            



                                                   

           

                       

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    👉     Problema 1.3: 😆


    El peso  de los estudiantes hombres de la UPIICSA se distribuye normalmente con un valor promedio de 70.5 kg y una desviación estándar  de 5.3. Si los estudiantes que pesen mas de 85 kg. serán convocados para formar parte del equipo de Futbol Americano que representara a la escuela.

    Determine el porcentaje de alumnos que podrán ser convocados.


    Solución Inciso a)


                                                    


                                                     


                                                

    Estandarizamos con:

                                               


                


                                   


    Para sacar el porcentaje multiplicas por 100 = 0.0031 x 100= 0.31 % de alumnos que podrán ser convocados.

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    👉     Problema 1.4: 😆


          Si     Y    ;    Calcule  

    Para la solución de este problema de distribución normal aplicamos el teorema y nos dará el valor promedio de este ejercicio:

            Teorema  Aplicado              

             Datos del problema            

                      Valor promedio :               



                Desviación estándar        


    Para esto, primero realizamos la estandarización de la variable X y después empleamos las tablas de la distribución normal estándar.  

    Solución Inciso a)

    Estandarizamos mediante la Formula:

                                                  


                                           

           

               

                           

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    👉     Problema 1.5: 😆

     La Calificación de Matemáticas en una sección sigue una distribución normal con  y  Entre que valores estarán situadas el 95% central de las calificaciones?

    Solución Inciso a)

                                       


                                              

                                                     


                                                   

                               
                                   



    El valor asociado a la tabla de probabilidad de 0.975 es  

                                              


    Estandarizamos con:

                                               


    despejando 

                                            


     Sustituyendo los valores en la formula despejada nos queda:

                                      

                                                 


    El valor asociado a la tabla de probabilidad de 0.025 es 

                                          


    Estandarizamos con:

                                               

    despejando 

                                            


     Sustituyendo los valores en la formula despejada nos queda:


                                                                 

                                                                                                

    Es decir que los valores centrales de las calificaciones son: 79.6 y 40.4 


    👉     Problema 1.6: 😆

     Las calificaciones en un curso de estadística tienen una distribución normal con una media de 60 y una desviación estándar de 10. La probabilidad de que una persona elegida al azar tenga una calificación superior a 70 es?


    Solución Inciso a)

                                                  
                            
                                                  


                                                

    Estandarizamos mediante:

                                           


                   


                     


                          


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    👉     Problema 1.7: 😆

    El promedio del costo de una laptop es de $22000 con una desviación estándar de $7000. Si se considera que la distribución normal, encuentra la probabilidad de que una laptop cueste menos de $28000.


    Solución Inciso a)


                                                   

                                             

                                    


    Estandarizamos mediante:

                                           





                        

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    👉     Problema 1.8: 😆

    Las calificaciones en un curso de estadística tienen una distribución normal con una media de 60 y una desviación estándar de 10, el profesor decide que el 10% de los mejores estudiantes no presentan el parcial final. La calificación mínima que debe tener un estudiante para ser eximido del parcial es? 


    Solución Inciso a)

                                       
                                   


                                            

     
                                                 

          
                                               


                                 


    El valor asociado a la tabla de probabilidad de 0.95 es

                                         


    Estandarizamos con:

                                          


    despejando

                                       

    Sustituyendo los valores de la formula nos queda:

                                
                                   

                         
                                             
                                              


    👉     Problema 1.9: 😆

    En un examen de estadística la media fue de 72 y la desviación estándar fue de 15 ¿Cuál fue la puntuación obtenida por un estudiante  si su valor correspondió a Z=1,60?


    Solución Inciso a)


    Buscando en el interior de la tabla de distribución normal estandarizada el valor de Z es:



                                             


    Estandarizamos con:

                                          




    despejando el valor de X es:


                                     


    Sustituyendo los valores en el despeje nos queda:

              
                               

                                                                                                                                           
                                              




    Por lo tanto la puntuación obtenida fue de 96


    👉     Problema 1.10: 😆


     Si     Y     Calcule; la probabilidad 


    Solución Inciso a)

                                                 

                                                 

                                            


    Estandarizamos con:

                                          



                         


                      

                      
                           

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    👉     Problema 1.11: 😆

    Los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 7 y desviación típica 2. Se pide a)¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que se presenta al examen obtenga una calificación superior a 7?  

    Solución Inciso a)

                                                

                                                

                                          


    Estandarizamos con:

                                          


                         

                                   
                       

                    
                           

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    👉     Problema 1.12: 😆

    El peso promedio de alguna población  es de 74 kg y la desviación estándar es de 6 kg. Calcula el porcentaje de personas que pesan mas de 80 kg.

    Solución Inciso a)


                                                

                                                  

                                          

    Estandarizamos con:

                                          



                   

                     
                     

                      
                          


    Para sacar el porcentaje multiplicas por 100 = 0.1587 x 100= 15.87 % es el porcentaje de personas que pesan mas de 80 kg.



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    👉     Problema 1.13: 😆

    Sea X una variable aleatoria normalmente distribuida, con media 1 y varianza 4. Calcular :

                 a)        b)      c)  


    Solución Inciso a)

                                                         

    Solución de la varianza aplicamos el teorema para que nos de la desviación estándar:

           Teorema Aplicado            


           Datos del problema          


           Desviación estándar              


                                                   

                                      
                                                     


           Estandarizamos con:

                                                  



                                  


                               


                                     


     Grafica



    Solución Inciso b)

                                                       

                                                       

                                                 

    Estandarizamos con:

                                               

                       
                          


                                  
                                                                                                                                      
    Grafica



    Solución Inciso c)

                                                       

                                                       

                               
                                            


    Estandarizamos con:

                                               


                      


                         


    Por lo tanto:

                                          

       
                              

     
                    


                                   


                                               

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         👉     Problema 1.14: 😆

    La media de los pesos de 700 estudiantes de una universidad es de 70 kg y la desviación típica 7 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, Hallar cuantos estudiantes pesan:

       a) Entre 55 kg y 65 kg   b) Más de 80 kg  c) Menos de 64 kg 

       d) 60 kg ó Menos

    Solución Inciso a)

                                                    

                                                     

             
                                      

    Estandarizamos con:

                                             


               

                                      
                


    Por lo tanto:

                                     


                     


         


                               

                                        
                                           

    Grafica



    Para hallar cuantos estudiantes pesan Entre  55 kg y 65 kg Multiplicamos la probabilidad obtenida por los 700 estudiantes.


                             


    Por lo tanto 155.89 estudiantes pesan entre 55 kg y 65 kg.


    Solución Inciso b)



                                                   

                                                    

                                             

    Estandarizamos con:

                                            


                


            


                             

    Grafica



    Para hallar cuantos estudiantes pesan Más de 80 kg Multiplicamos la probabilidad obtenida por los 700 estudiantes.



                               


        Por lo tanto 53.48 estudiantes pesan Más de 80 kg.