DISTRIBUCION BINOMIAL

Un fabricante de calzado, produce 2% de defectuosos. su un cliente hace un pedido de 500 pares de calzado y para analizar el pedido , toma una muestra de 12 pares. halla la probabilidad que en la muestra obtenga:

exactamente 3 pares defectuosos
al menos 3 pares defectuosos
a lo sumo 4 pares defectuosos.

TEOREMA DE BAYES

1- en cierta cuidad el 40% de la poblacion tiene cabello castaño, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tien los ojos y cabello castaño. si se escoje una persona al asar calcular :

a) si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad q tambien tenga ojos castaños
b) si tien ojos castaños, cual es la pobabilidad de q tenga cabello castaño
c) cual es la probabilidad de q tenga cabellos y ojos castaños.

Eventos:

C --> Cabello castaño
O --> Ojos castaños.

Nos dicen que:

P(C)=0.40
P(O)=0.25
P(C∩O) = 0.15

a)

Nos piden P(O|C)

P(O|C) = P(C∩O) / P(C) = 0.15/0.40 = 0.375

b)

Nos piden P(C|O) =

P(C|O) = P(C∩O) / P(O) = 0.15/0.25 = 0.6

c)

P(C∩O)= 0.15 según el enunciado.

INTERVALOS DE CONFIANZA

1- Sabemos que a la población la distribución de la variable HAD sigue una ley normal N (mu=5, sigma=2,6).

Necesito calcula si ******* muestras de tamaño 150 sujetos, estimar la media poblacional de la variable HAD con un nivel de confianza del 95% (alfa=5%), y con un nivel de confianza del 99% (alfa=1%). ¿Cambian los límites del intervalo de confianza? ¿Por que?.

Los intervalos son de la forma

µ ± z(1-α/2) * σ/√n

donde

n=150
µ=5
σ=2.6

Para 95% --> α=0.05 --> P(Z z=1.96
Para 99% --> α=0.01 --> P(Z z=2.58

Intervalo del 95%

5 ± 1.96 * 2.6/√150

5 ± 0.4161

(4.5839 , 5.4161)

Intervalo del 99%

5 ± 2.58 * 2.6/√150

5 ± 0.5477

(4.4523 , 5.5477)

Cambian los limites, debido a que al aumentar la confianza aumenta el valor z de 1.96 a 2.58, con lo que el intervalo gana en amplitud.

TEOREMA DE BAYES

1- Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?

Eventos:

D --> Sufrir deterioro --> D' Estar sano
T --> Trastorno detectado

Nos dicen que

P(D)=0.20 --> P(D') = 0.80
P(T|D)=0.80
P(T|D') = 0.03

Nos piden calcular P(D|T) :

Por el teorema de Bayes:

P(D|T) = P(T|D)*P(D) / { P(T|D)*P(D) + P(T|D')*P(D') }

P(D|T) = 0.80*0.20 / { 0.80*0.20 + 0.03*0.80 }

P(D|T) = 0.8696

INTERVALOS DE CONFIANZA

1- Sea (b,c) un intervalo de confianza al 100(1-a)% para la media de la v.a X entonces:

A. Se pude afirmar, con una confianza del 100(1-a)% que la media de X está por encima de b y por debajo de c.
B. se puede afirmar que b y c son los valores minimo y maximo respectivamente de la v.a. X.
C. se puede afimar que los valores de la v.a. X estan entre b y c.
D. Se puede afirmar que b y c son los minimo y maximo de la media de X respectivamente.

Nota la (1-a) es 1 menos alfa.}

a) No, lo que podemos afirmar es que de las veces que calculemos el intervalo de confianza con datos de esa población, la verdadera media poblacional estará entre b y c el 100(1-a)% de las veces.

b) No, son valores minimos y maximos del intrvalo de confianza pero habra datos por debajo de b y por sobre de c

c) No, b y c son los extremos del intervalo no de los datos.

d) No, b y c son los extremos del intervalo de la media no sus valores minimos.

DISTRIBUCION BINOMIAL

1-Un examen de conocimiento consite de 10 preguntas independientes cada una con 5 respuestas donde solo una es la correcta. Si usted contesta al azar las 10 preguntas, ¿cual es la probabildad?

a. de q acierte las 10 preguntas.
b. de q acierte al menos una de las respuestas.
c. de q acierte las 3 primeras respuestas

COMBINACION (2022)

COMBINACION: Dado el conjunto con n elementos diferentes, llamaremos combinación a cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k. Detonaremos el número de combinaciones de tamaño k que se puedan formar con los n elementos.

EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 01:

1.- Una secretaria introduce al azar 3 cartas diferentes en 3 sobres diferentes. Se sabe que cada carta solo tienen un sobre correcto. Sea X el número de cartas introducidas correctamente:

a) Halla la distribución de probabilidad de X.
b) Calcula el valor esperado de X.

obtener las probabilidades usando la combinatoria.

Si llamamos 1,2,3 a las cartas y el sobre lo representamos por la posicion (posicion 1 --> sobre 1, posicion 2 ---> sobre 2, posicion 3 ---> sobre 3). Se pueden producir los siguientes 6 casos (permutaciones de 3 elementos = 3!=3*2*1=6) , en los que indicamos las cartas introducidas correctos (se considera que es correcta si la carta 1 esta en la primera posición, si la 2 en la segunda y si la 3 en la tercera:

123 --> 3
132 --> 1
213 --> 1
231 --> 0
312 --> 0
321 --> 1

Fijate en que no existen los 2 aciertos ya que si introducimos dos cartas en sus sobres correctamente la carta que queda necesariamente esta correctamente introducida:

La distribución de probabilidad es

x--- f(x)

0 --- 2/6 = 1/3
1 --- 3/6 =1/2
3 --- 1/6 = 1/6

a)

x --- f(x)

0 --- 1/3
1 --- 1/2
3 --- 1/6

b)

El valor esperado es

E(x) = suma(x*f(x))

E(X)= 0*1/3 + 1*1/2 + 3*1/6

E(X) = 1

Es decir el numero esperado de cartas correctamente ensobradas es 1

INTERVALOS DE CONFIANZA

1-Sabemos que al lanzar al aire 100 monedas, en el 95% de los casos, la proporción de obtener "cara" está en el intervalo [ 0,1216 ; 0,2784]. Hallar la probabilidad p de un UNA de esas monedas caiga "cara" y comprueba que el intervalo elegido es correcto.

Ya que es un intervalo del 95% la formula del intervalo es

p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)

El valor de p es siempre el valor medio entre los extremos del intervalo:

p=(0,1216+0,2784)/2 = 0.2 --> probabilidad que una de las monedas sea cara.

Ahora comprobamos si el intervalo es correcto, teniendo en cuenta que p=0.2 y n=100

p ± 1.96*√(p*(1-p)/n)

0.2 ± 1.96*√(0.2*(1-0.2)/100)

0.2 ± 1.96*√0.0016

0.2 ± 1.96*0.04

0.2 ± 0.0784

(0.2-0.0784 , 0.2+0.0784)

(0.1216 , 0.2784)

Comprobamos que en efecto el intervalo es correcto.