martes, 8 de marzo de 2011

DISTRIBUCION EXPONENCIAL (2024) Ejemplos

  • + EJEMPLOS DE DISTRIBUCION EXPONENCIAL
  • En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser atendido en cajas al pagar la mercancía es de 7 minutos. Determine la probabilidad de que: a) Un cliente espere menos de 4 minutos. b) Un cliente espere más de 9 minutos.

    Solución Inciso a)

    La distribución exponencial tiene por 


    Formula                

                                          



    Y su media es        en este caso  


    Entonces:                     


    Formula:                     


                        

    Sacando el porcentaje:

                             %



    Solución Inciso b)


    La distribución exponencial tiene por formula,

                            


    Y su media es         en este caso  


    Entonces:             


                               

                            
                              






    DISTRIBUCION EXPONENCIAL (2024) Ejemplos

  • + EJEMPLOS DE DISTRIBUCION EXPONENCIAL

  • El tiempo que tarda un empleado en tomar un pedido de un cliente en un restaurante que da servicio en su coche, sigue una distribución exponencial con una respuesta de atención al cliente de 4 minutos en promedio.

    a)¿Que probabilidad hay de que el cliente siguiente deba esperar menos de 2.5 minutos?

    b)¿Que probabilidad hay de que el cliente siguiente deba esperar entre 1 y 3 minutos?


    Solución Inciso a)

    La distribución exponencial tiene por 


    Formula                

                                          



           Y su media es         en este caso    



    Entonces                              


                                             
                                                


                           
                            


                                        

                                
                                   


    Solución Inciso b)

                                        

                     
                                 

                           
                                            

        
                          


                              



    lunes, 7 de marzo de 2011

    Definición de Modelo Exponencial

    Es una gran parte de los modelos continuos relacionados con el tiempo podemos notar que su distribución es de tal forma que en los tiempos cercanos a cero tiene una mayor acumulación y conforme pasa el tiempo esta decrece rápidamente de forma similar a una función exponencial negativa. Los modelos exponenciales se emplean cuando la probabilidad de que la variable aleatoria en estudio ocurra en una unidad de tiempo, sea igual a que suceda en cualquier otra. Lo anterior significa que las variables aleatorias exponenciales son invariantes en el tiempo.

    jueves, 3 de marzo de 2011

    Integral indefinida 2x dx paso por paso

        Formula 

    Propiedad básica de integración: esta propiedad se aplica a todas las integrales con una constante.
    Lo cual nos dice que si tengo una integral de una constante multiplicada por una función esto es igual a colocar la constante fuera de la integral y hacer la integral fuera de la función.



    Aplicamos la propiedad de integración a nuestra integral


      Nos quedo de esta manera, y nos centramos en realizar el,

     Análisis de la integral donde:












    Ahora sustituyendo los valores de la integral en la formula:






    Eliminando los valores iguales la solución de la integral queda así:



    INTEGRAL DE DOBLE VARIABLE

    Integral indefinida 4x^2 dx paso por paso





                Formula


    Propiedad básica de integración: esta propiedad se aplica a todas las integrales con una constante.
    Lo cual nos dice que si tengo una integral de una constante multiplicada por una función esto es igual a colocar la constante fuera de la integral y hacer la integral fuera de la función.



    Aplicamos la propiedad de integración a nuestra integral

    Nos quedo de esta manera, y nos centramos en realizar el,

     Análisis de la integral donde:







    Ahora sustituyendo los valores de la integral en la formula:

    sábado, 29 de enero de 2011

    DISTRIBUCION UNIFORME (2024) Ejemplos


    😆
    👉DISTRIBUCION UNIFORME: En las distribuciones continuas se suele comenzar con un modelo sencillo, pero de gran importancia en diferentes áreas de estudio en donde las variables aleatorias se distribuyen uniformemente en un intervalo finito (a,b) ó (a,b). Un modelo probabilístico continuo es de tipo uniforme, cuando la variable aleatoria continua que en él se define está distribuida en el intervalo (a,b) de tal forma que la probabilidad en un subintervalo cualesquiera, depende sólo de la longitud. Por consiguiente, su función de densidad dependerá de los valores de sus parámetros a y b. Formalizando el modelo tendremos lo siguiente.

    Si x en una variable aleatoria continua del experimento realizado diremos que tiene una distribución uniforme con parámetros a y b , cuando su función de densidad de probabilidad esta distribuida en el intervalo (a,b)

                                       FUNCIÓN DE DENSIDAD

                                   

    Facilmente se comprueba que efectivamente la funcion anterior es una funcion de densidad de probabilidad puesto que no es negativa y la integral en todos los numeros reales vale uno.

    El calculo de dicha integral se reduce al area del rectangulo con base igual a:

                                         y altura  

    Si x es una variable aleatoria continua con distribucion uniforme en (a,b) y , f(x) es su funcion de densidad de probabilidad, entonces

                                  
    ESPERANZA MATEMÁTICA LLAMADO TAMBIÉN VALOR ESPERADO

                                 

        DESVIACIÓN ESTÁNDAR LLAMADO TAMBIÉN VARIANZA
                                    
                                     

                               FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

                         


    DEMOSTRACIÓN  DE LAS FORMULAS DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME

    Empleando las formulas para el valor esperado, la variancia y la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.


    DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DEL VALOR ESPERADO





                   DEMOSTREMOS LA EXPRESIÓN PARA LA VARIANZA











                                        EJERCICIOS RESUELTOS

    👉     Problema 01:          😆

    Sea la variable aleatoria continua   la corriente medida, en miliamperes,en un alambre delgado de cobre. supongase que el rango de  es  mA y que la función de densidad de probabilidad de  es   ,    .

    a)¿Cual es la probabilidad de que una medición de corriente este entre 5 y 10 miliamperes?
    b) Obtenga la media y la varianza de 

    Solución Inciso a)





    La probabilidad se calcula por:





    Solución Inciso b)







    👉     Problema 02:          😆

    Suponga un experimento en el que de alguna manera se hace medición  al azar y esta tiene una distribución uniforme en el intervalo . Calcule la probabilidad de que la medición
    este entre 1.5 y 2.

    a) Por medio de su función de densidad.
    b)Por medio de su función acumulada.

    Solución Inciso a)

    a) Sea   la variable aleatoria continua definida en el experimento, se ha mencionado en las condiciones del problema que  tiene una distribución en . Por lo tanto, su función de densidad estará dada por:




    La probabilidad se calcula por:




    Solución Inciso b)

    De forma similar al inciso (a), tenemos que su función acumulada  de  estará dada por :

             



    Por lo tanto, la probabilidad , se puede calcular de la siguiente manera:


             

                




    👉     Problema 03:          😆


    Suponga un experimento en el que de alguna manera se hace una medición al azar y esta puede estar distribuida uniformemente en el intervalo  , Se realizan cinco mediciones independientes.
    ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellas estén entre 1 y 2?

    Solución Inciso a)

    Primero definimos a la variable aleatoria continua  de forma similar que en el ejemplo anterior, para una sola medicion, en donde ella tiene una distribución uniforme en  , y calculamos la probabilidad de que dicha medida se encuentre entre 1 y 2.

                            

    Posteriormente definimos a la variable discreta, Y: " Cantidad de mediciones que resultan entre 1 y 2"

    Ahora note que en este caso se tienen 5 ensayos independientes con probabilidad de éxito igual a:

                           

    Por lo tanto, se trata de un modelo binomial con parámetros:

                                             

                                           

    Así     






    👉     Problema 04:          😆

    La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en diez miles de galones )con una función de densidad de probabilidad como se indica abajo.

    a) calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes;


     b) determine la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado.

    Solución Inciso a)


                                        Función de Densidad




                                      

                                       Distribución Uniforme (0,3)


    a)     Es la integral entre 0.8 y 1.2 de     


    La integral Indefinida es :

                                             

    y la probabilidad


                                               




    Solución Inciso b)

    Es una distribución continua con parámetros         y su  media es:





    Se calcula la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado:







    👉     Problema 05:          😆

    Las ventas de combustibles en una gasolinera tienen una media de 40 000 litros por día y un mínimo de 30 000 litros por día. Supongamos que una distribución uniforme es apropiada.

    a)Determine las ventas máximas diarias

    b)¿Que porcentaje de días las ventas excederán de 34 000 litros?

    Solución Inciso a)

                              Formula   



    Sustituyendo los valores de la formula:

                                      

    Despejando b :

                                 


                               

                                    


              Ventas máximas diarias :        


    Solucion Inciso b)








    Porcentaje de Ventas %         %





    👉     Problema 06:          😆

    Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo -en minutos- de maquinado de una pieza se modela con una distribución uniforme (10,20). Calcula la probabilidad de que:
    a) Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.

    Solución Inciso a)


    La distribución uniforme tiene una función de probabilidad de:

                           

                                       La probabilidad Acumulada

    Formula:

                             


    Que representa                   



    En este caso :

                                          


    Sustituyendo los valores de la formula nos queda:





    👉     Problema 07:          😆

    Suponga que  tiene una distribución uniforme continua en el intervalo .

    a) Calcule la media y la varianza de .


    Solución Inciso a)

             

                 


                 




    👉     Problema 08:          😆


    Suponga que    tiene una distribución uniforme continua en el intervalo .

    a) Calcule la media y la varianza de .


    Solución Inciso a)

              
                   
                           


                    




    👉     Problema 09:          😆

    Considere una variable aleatoria cuya distribución es uniforme en el intervalo  como se ha

    presentado es decir   siempre que , con

      se dice que la variable aleatoria  sigue una distribución uniforme

     y se representa por  uniforme 


    por ejemplo:


                           


    👉     Problema 10:          😆

    Supongamos que la variable aleatoria continua , tiene una distribución de tipo uniforme con su valor mas grande igual a 6 y valor esperado de 4.

    a) ¿Calcule el valor de a del valor esperado?
    b) ¿Calcule la variancia de ?


    Solución Inciso a)

    Formula:

                                       


    Sustituyendo los valores de la formula:

                                            

    Despejando a:

                                          


                                              


                                              


                                                   
               

    Solución Inciso b)


             


    👉     Problema 11:          😆

    Un satélite  que ha cumplido su ciclo en orbita alrededor de la tierra esta a punto de caer en ella, los especialistas calcularon su caída en algún lugar entre los puntos P y Q. Si su comportamiento es uniforme. Calcule la probabilidad de que la distancia con respecto a P sea mas de 4 veces la distancia con respecto a Q. 

    Solución Inciso a)

    De las condiciones del ejercicio nos interesa conocer la probabilidad cuando,.
    Así, agrupando las x del lado izquierdo tenemos,  Despejando x, resulta  .

    Por lo tanto, si calculamos la probabilidad requerida por una división entre segmentos tendremos: