DISTRIBUCION EXPONENCIAL

El tiempo de recurrencia para el tratamiento de cierto tipo de cáncer es una variable aleatoria con una distribución exponencial con media λ. 50% de los pacientes tienen una recurrencia dentro de 693 días.
a)Encuentre λ
b)Encuentre la probabilidad de que un paciente que no ha tenido la recurrencia en el primer año después del tratamiento, tendrá la recurrencia durante el segundo año.

la distribución exponencial tiene por función de densidad:

f(x) = 1/λ * exp(-1/λ*x)

La función de distribución (probabilidad acumulada) es

P(X<=x) = F(X) = 1 - exp(-1/λ*x)

Nos dicen que

F(693) = 0.50

1 - exp(-1/λ*693) = 0.50

exp(-1/λ*693) = 1-0.50

exp(-1/λ*693) = 0.50

tomando logaritmos

ln { exp(-1/λ*693) } = ln 0.50

-1/λ*693 = ln 0.50

-693/λ = ln 0.50

λ = -693 / ln 0.50

λ = 999.77

b)

Es una probabilidad condicionada

P(365365) = P(365365)

365
por tanto la probabildad es

P(365X<730>365) =

donde

P(365X<730 -="" f="" p="">
P(X>365) = 1-F(365)

tenemos que

F(730) = 1-exp(-1/999.78*730) = 0.5182

F(365) = 1-exp(-1/999.78*365) = 0.3059

Por tanto

P(365X<730 -="" 0.3059="0.2123</p" 0.5182="" f="">
P(X>365) = 1-F(365) = 1-0.3059 = 0.6941

La probabilidad es 0.2123/0.6941 = 0.3058