EJERCICIOS

1- A un dependiente de un autolavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12. ¼, ¼, 1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo específico.

xi --- pi
5 --- 1/12
7 --- 1/12
9 --- 1/4
11 --- 1/4
13 --- 1/6
17 --- 1/6

E(X)=Suma(xi*pi) =

5*1/12 + 7*1/12 + 9*1/4 + 11*1/4 + 13*1/6 + 17*1/6 = 11

La ganancia esperada es $11

2- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a.- Determine la función de probabilidad de X. b.- ¿Cual es el valor de P ( X ≤ 1)?

2-

La probabilidad de abrir a la primera es 1/5

La probabilidad de abrir a la segunda es la probabilidad de no abrir - abrir

4/5 * 1/4 =1/5

ya que primero tenemos 5 llaves de las que 4 no abren 4/5 y despues para la segunda tenemos 4 de las que 1 abre el candado 1/4

de la misma manera para

3 intentos --> 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5

4 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

5 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

P(X)=1/5

P(X<=1) = P(X=1) = 1/5

3-Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la distribución de probabilidad para la variable X que representa el numero de balotas verdes.

3)

p=2/(2+4) = 1/3 (probabilidad de balotas verdes)

la distribución de X es una binomial de n=3 y p=1/3

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

P(X=x) = C(3,x) * (1/3)^x * 2/3)^(3-x)

DISTRIBUCION BINOMIAL

Un jugador de basketball, anota 7 de cada 10 tiros libresque ejecuta. Si durante un partido, ejecuta 9 tiros libros hallar la probabilidad:

que falle 3 tiros libres
que anote todos
que anote exactamente 5 tiros

SUCESOS

SUCESOS: Es un elemento que forma parte del eapacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

EJERCICIOS RESUELTOS

 ¿la probabilidad de que un dia cualquiera llueva, es del 20 %?¿cual es la probabilidad de que llueva?¿que no llueva?

Tenemos el suceso:

A : Llueva

P(A)=20% =0.20

La probabildiad que no llueva es la probabilidad contraria

P(No llueva) = 1-P(A)=1-0.20 = 0.80 --> 80%

INTERVALO DE CONFIANZA

1- la division de creditos deu n banco comercial grande desea estimar un nivel de confianza del 99% la proporcion de sus creditos que estan en mora. Si el ancho del intervalo es de 7% ¿cuantos creditos deben revisarse?¿Cual es el error tolerable?

Confianza 99% --> Z=2.58

Ancho del intervalo 7% = 0.07 --> d=0.07/2 = 0.035

p es desconocida, tomamos p=0.5

n>=Z²p(1-p)/d²

n>=2.58²*0.5*0.5/0.035² = 1358.45

redondeando a enteros,

n>=1359

Es decir necesitamos un minimo de 1359 creditos para revisar.

DISTRIBUCION BINOMIAL

Un fabricante de calzado, produce 2% de defectuosos. su un cliente hace un pedido de 500 pares de calzado y para analizar el pedido , toma una muestra de 12 pares. halla la probabilidad que en la muestra obtenga:

exactamente 3 pares defectuosos
al menos 3 pares defectuosos
a lo sumo 4 pares defectuosos.

TEOREMA DE BAYES

1- en cierta cuidad el 40% de la poblacion tiene cabello castaño, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tien los ojos y cabello castaño. si se escoje una persona al asar calcular :

a) si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad q tambien tenga ojos castaños
b) si tien ojos castaños, cual es la pobabilidad de q tenga cabello castaño
c) cual es la probabilidad de q tenga cabellos y ojos castaños.

Eventos:

C --> Cabello castaño
O --> Ojos castaños.

Nos dicen que:

P(C)=0.40
P(O)=0.25
P(C∩O) = 0.15

a)

Nos piden P(O|C)

P(O|C) = P(C∩O) / P(C) = 0.15/0.40 = 0.375

b)

Nos piden P(C|O) =

P(C|O) = P(C∩O) / P(O) = 0.15/0.25 = 0.6

c)

P(C∩O)= 0.15 según el enunciado.

INTERVALOS DE CONFIANZA

1- Sabemos que a la población la distribución de la variable HAD sigue una ley normal N (mu=5, sigma=2,6).

Necesito calcula si ******* muestras de tamaño 150 sujetos, estimar la media poblacional de la variable HAD con un nivel de confianza del 95% (alfa=5%), y con un nivel de confianza del 99% (alfa=1%). ¿Cambian los límites del intervalo de confianza? ¿Por que?.

Los intervalos son de la forma

µ ± z(1-α/2) * σ/√n

donde

n=150
µ=5
σ=2.6

Para 95% --> α=0.05 --> P(Z z=1.96
Para 99% --> α=0.01 --> P(Z z=2.58

Intervalo del 95%

5 ± 1.96 * 2.6/√150

5 ± 0.4161

(4.5839 , 5.4161)

Intervalo del 99%

5 ± 2.58 * 2.6/√150

5 ± 0.5477

(4.4523 , 5.5477)

Cambian los limites, debido a que al aumentar la confianza aumenta el valor z de 1.96 a 2.58, con lo que el intervalo gana en amplitud.

TEOREMA DE BAYES

1- Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?

Eventos:

D --> Sufrir deterioro --> D' Estar sano
T --> Trastorno detectado

Nos dicen que

P(D)=0.20 --> P(D') = 0.80
P(T|D)=0.80
P(T|D') = 0.03

Nos piden calcular P(D|T) :

Por el teorema de Bayes:

P(D|T) = P(T|D)*P(D) / { P(T|D)*P(D) + P(T|D')*P(D') }

P(D|T) = 0.80*0.20 / { 0.80*0.20 + 0.03*0.80 }

P(D|T) = 0.8696