Distribución Uniforme

Suponga que x tiene una distribución uniforme continua en el intervalo (1.5,5.5) 

a) calcule la media, la varianza, y la desviación estándar de x. 

b) ¿ cual es el valor de P ( x < 2.5) ?

Solución del Ejercicio: Distribución Uniforme Continua

Supongamos que la variable aleatoria X sigue una distribución uniforme continua en el intervalo (a, b) = (1.5, 5.5).

a) Calcular la media, varianza y desviación estándar

• 1. Calcular la media (Esperanza matemática):
  La fórmula es: μ = (a + b) / 2
  μ = (1.5 + 5.5) / 2 = 7 / 2 = 3.5
• 2. Calcular la varianza:
  La fórmula es: σ² = (b - a)² / 12
  σ² = (5.5 - 1.5)² / 12 = 4² / 12 = 16 / 12 = 4 / 3 ≈ 1.3333
• 3. Calcular la desviación estándar:
  La fórmula es la raíz cuadrada de la varianza: σ = √(σ²)
  σ = √(1.3333) ≈ 1.1547

b) Calcular el valor de P(X < 2.5)

Para una distribución uniforme continua, la probabilidad acumulada se calcula con la fórmula:
P(X < x) = (x - a) / (b - a)

Sustituyendo los valores correspondientes:
P(X < 2.5) = (2.5 - 1.5) / (5.5 - 1.5)
P(X < 2.5) = 1 / 4 = 0.25 (o 25%)

Distribución de Poisson

 Solución del Ejercicio:

 Con el objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente una cierta compañia acostumbra a determinar el numero de manchas en la superficie, considerando al lente defectuoso, si 3 o mas de tales manchas, asperezas y otro tipo de defectos aparecen en el. si el numero de manchas en una superficie de 1 cm cuadrado sigue una distribución de poisson con una taza media de 2 asperezas por cm cuadrado 

a) calcule la probabilidad de que un lente de 1 cm cuadrado se le catalogue como bueno.

 b) calcule la probabilidad de que un lente redondo con un diámetro de 1 cm se le catalogue como bueno.

La condición del problema indica que un lente se considera defectuoso si tiene \(3\) o más manchas (\(X \geq 3\)). Por lo tanto, un lente se considerará bueno si tiene \(0, 1\) o \(2\) manchas (\(X < 3\)).
\(P(\text{Bueno}) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\) [1]

a) Lente de \(1 \, cm^2\)

La tasa media es \(\mu = 2\) asperezas por \(cm^{2}\).

• \(P(X=0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = 0.1353\)
• \(P(X=1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 0.2707\)
• \(P(X=2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = 0.2707\)

\(P(\text{Bueno}) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = \mathbf{0.6767}\) (o \(67.67\%\)).

b) Lente redondo con diámetro de \(1 \, cm\)

Primero calculamos el área del lente: \(A = \pi \cdot r^2\). El radio es \(r = 0.5 \, cm\), entonces \(A = \pi \cdot (0.5)^2 \approx 0.7854 \, cm^2\).
La nueva tasa media es \(\mu = 2 \text{ manchas/cm}^2 \times 0.7854 \, cm^2 = 1.5708\).

• \(P(X=0) = \frac{e^{-1.5708} \cdot 1.5708^0}{0!} \approx 0.2079\)
• \(P(X=1) = \frac{e^{-1.5708} \cdot 1.5708^1}{1!} \approx 0.3265\)
• \(P(X=2) = \frac{e^{-1.5708} \cdot 1.5708^2}{2!} \approx 0.2564\)

\(P(\text{Bueno}) = 0.2079 + 0.3265 + 0.2564 = \mathbf{0.7908}\) (o \(79.08\%\)).

Distribución Hipergeométrica

Resolución de Ejercicio: Probabilidad Hipergeométrica

Enunciado: Se escogen al azar sin reemplazo 8 objetos de un lote con 15 buenos y 6 defectuosos.

Datos iniciales:

• Total de objetos (N): 21 (15 buenos + 6 defectuosos)
• Tamaño de la muestra (n): 8
• Objetos defectuosos en el lote (K): 6
• Objetos buenos en el lote: 15

---

a) Probabilidad de encontrar exactamente 2 defectuosos

Utilizamos la fórmula de la distribución hipergeométrica:

P(X = 2) = [ C(6, 2) * C(15, 6) ] / C(21, 8)

Cálculos:

1. Formas de elegir 2 defectuosos de 6: C(6, 2) = 15
2. Formas de elegir 6 buenos de 15: C(15, 6) = 5,005
3. Formas totales de elegir 8 de 21: C(21, 8) = 203,490

Resultado: P(X = 2) = (15 * 5,005) / 203,490 = 75,075 / 203,490 ≈ 0.3689 (36.89%)

b) ¿Cuántos de los 8 objetos se espera que NO estén defectuosos?

Se pide el valor esperado (media) de objetos buenos. La fórmula para la esperanza en una muestra de tamaño n es:

E(X) = n * (Probabilidad de éxito en el lote)

Donde:

• n = 8 (muestra)
• Probabilidad de ser bueno = 15 / 21

Cálculo: E(X) = 8 * (15 / 21) = 8 * 0.7142 = 5.714

Se espera que, en promedio, 5.71 objetos de los 8 seleccionados no sean defectuosos.

Distribucion de Poisson 2026

Resolución: Distribución de Poisson

Problema: En una tienda, los clientes llegan con un promedio de λ = 10 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 5 clientes en una hora?

Datos:
• Media (λ) = 10
• Variable (X) = Número de clientes
• Objetivo: P(X ≥ 5)

Para calcular "al menos 5", es más sencillo usar el complemento:

P(X ≥ 5) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)]

Usando la fórmula de Poisson: P(X=k) = (e^-λ · λ^k) / k!

k	Cálculo (λ=10)	Probabilidad
0	(e⁻¹⁰ · 10⁰) / 0!	0.000045
1	(e⁻¹⁰ · 10¹) / 1!	0.000454
2	(e⁻¹⁰ · 10²) / 2!	0.002270
3	(e⁻¹⁰ · 10³) / 3!	0.007567
4	(e⁻¹⁰ · 10⁴) / 4!	0.018917

Resultado final:
Suma de P(X < 5) = 0.029253
P(X ≥ 5) = 1 - 0.029253 = 0.9707

La probabilidad de que lleguen al menos 5 clientes es del 97.07%.

Distribucion de Poisson 2026

Resolución de Ejercicio: Distribución de Poisson

Problema: Una clínica atiende en promedio 16 pacientes cada 4 horas. Calculemos las probabilidades solicitadas.

Paso 1: Calcular la tasa media (λ) por minuto
16 pacientes / (4 horas * 60 min) = 16 / 240 = 0.0667 pacientes/minuto.

1. Probabilidad de menos de 3 personas en 30 minutos

• λ para 30 min: 0.0667 * 30 = 2 pacientes.
• Buscamos: P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2)

• P(0) = (e⁻² * 2⁰) / 0! = 0.1353
• P(1) = (e⁻² * 2¹) / 1! = 0.2707
• P(2) = (e⁻² * 2²) / 2! = 0.2707

Resultado: 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767 (67.67%)

2. Probabilidad de 12 pacientes en 180 minutos

• λ para 180 min: 0.0667 * 180 = 12 pacientes.
• Buscamos: P(X = 12)

Usando la fórmula: P(X=k) = (e⁻λ * λᴷ) / k!
P(12) = (e⁻¹² * 12¹²) / 12!

Resultado: 0.1144 (11.44%)

Distribucion Exponencial

Resolución: Tiempo de Espera en Cajas

En una tienda departamental el tiempo de espera para ser atendido en cajas al pagar la mercancía es de 7 minutos. Determine la probabilidad de que:

a) un cliente espere menos de 4 minutos.

b) Un cliente espere más de 9 minutos.

Para resolver este ejercicio, utilizamos la Distribución Exponencial, donde la fórmula de probabilidad acumulada es:

P(X ≤ x) = 1 - e^-λx

Datos:
• Promedio (μ) = 7 minutos.
• Tasa de llegada (λ) = 1 / μ = 1/7 (aprox. 0.1428).

---

a) Probabilidad de que un cliente espere menos de 4 minutos

Calculamos P(X < 4):

• P(X < 4) = 1 - e^-(1/7)(4)
• P(X < 4) = 1 - e^-0.5714
• P(X < 4) = 1 - 0.5647
• P(X < 4) = 0.4353 o 43.53%

b) Probabilidad de que un cliente espere más de 9 minutos

Calculamos P(X > 9), que es el complemento: 1 - P(X ≤ 9):

• P(X > 9) = e^-(1/7)(9)
• P(X > 9) = e^-1.2857
• P(X > 9) = 0.2764 o 27.64%

Resumen de resultados:
a) Menos de 4 min: 43.53%
b) Más de 9 min: 27.64%

Ejercicios de Matematicas ( DISTRIBUCION EXXPOENENCIAL) 2026

+ EJEMPLOS DE DISTRIBUCION EXPONENCIAL

En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser atendido en cajas al pagar la mercancía es de 7 minutos. Determine la probabilidad de que: a) Un cliente espere menos de 4 minutos. b) Un cliente espere más de 9 minutos.

Solución Inciso a)

La distribución exponencial tiene por 

Formula                

                                      

Y su media es        en este caso  

Entonces:                     

Formula:                     

                    

Sacando el porcentaje:

                         %

Solución Inciso b)

La distribución exponencial tiene por formula,

                        

Y su media es         en este caso  

Entonces:             

                           

                        

                          

PROBABILIDAD (2026) Ejercicios de Matemáticas Online

Temas de Probabilidad:

Definicion de Probabilidad

  

Distribución Exponencial

Distribución de Poisson

Distribución Geometrica

Distribución Hipergeometrica

Distribución Binomial

Distribución Uniforme

Combinación

Teorema de Bayes

Distribución Binomial por la de Poisson

Distribución Normal

Variable Aleatoria Continua

Variable Aleatoria Discreta

Sucesos

Eventos

CALCULO INTEGRAL

Temas de Calculo Integral

         

 La Antideriva

Integración Definida Y Área De Curvas

Técnicas De Integración.

Aplicaciones De La Integral E Integrales Impropias.

CALCULO DIFERENCIAL

Temas de Calculo Diferencial



         

Funciónes y limites

Continuidad de una Función

Derivada de una Función.

Aplicaciones de la Derivada.

Otros Usos de la Derivada.

ALGEBRA

Temas de Algebra



         

Polinomios

Ecuaciones de Primer Grado

Ecuaciones de Segundo grado Grado

Sistema de Ecuaciones Lineales.

Notacion Algebraica.

Operaciones Fundamentales.

Productos Notables.

Factorizacion.

ARITMETICA

Temas de Aritmetica


         

Numeros Naturales

Divisibilidad

Numeros Enteros.

Clases de Numeros.

Ordinalidad y Cardinalidad.

Fracciones.

Valor absoluto.

Minimo Comun Multiplo.

Numero Multiplos,Compuestos y Primos.

Divisibilidad y Calculo del Maximo Comun Divisor.

ALGEBRA LINEAL

Temas de Algebra Lineal


         

Regla de Cramer

Matriz Simetrica

Matriz Inversa.

ESTADISTICA

Temas de Estadistica


         

Hipotesis

Media Muestral

Intervalos de Confianza.

TRIGONOMETRIA

Temas de Trigonometría:

 

Razones trigonométricas

Ángulos Trigonometría

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Teoremas de Trigomometría

Triángulos. Trigomometría

Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas inversas

INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

Integral por cambio de variable

                                

Solución:

Se utiliza la formula                        Donde

                                                      Analisis

                                               

                                                 

Sustituyendo los valores en la formula:

                                       

                                       

                                              

Se realiza el cambio de variable

                                           

                                             

                                     

DEFINICION DE PROBABILIDAD(2026)

Historia de Probabilidad

  ¿QUE ES PROBABILIDAD?

El ser humano siempre ha estado en contacto con situaciones aleatorias, ya sea de experiencias naturales o juego que el mismo crea, en donde prevalece la incertidumbre por ejemplo, se han encontrado en las tumbas egipcias restos de dados cúbicos con marcas idénticas a las de los dados actuales que datan del año 2000 a.c, mas aun se tienen indicios que aproximadamente por el año 3500 a.c los egipcios tenían juegos de azar que practicaban con objetos de huesos.

Por tales razones el estudio de la incertidumbre siempre ha tenido interés particular para la humanidad, desde conocer la incertidumbre con respecto del clima, el resultado del lanzamiento de una moneda o un dado, hasta situaciones modernas, como son el curso del cambio de la moneda nacional, la bolsa de valores para conocer en que acciones se tiene mayor o menor riesgo en su inversión.

Así, desde su aparición los juegos de incertidumbre han dejado un gran reto a diferentes matemáticos para calcular las probabilidades de exito que tiene un jugador en un juego de azar, de tal forma que haciendo un poco de historia resulta que la creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII  Blaise Pascal (1623-1662)  y Pierre de Fermat (1601-1665) cuando lograron obtener probabilidades exactas para ciertos tipos de problemas relacionados con los juegos de los dados. aunque algunos matemáticos anteriores como Geloramo Cardano en el siglo XVI (1501-1576) y Galileo Galilei (1564-1642) , habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo calculando algunas combinaciones numéricas para ciertos problemas relacionados con los dados.

Uno de los problemas clásicos con los que dio inicio el calculo de las probabilidades consiste en saber cuantos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50 % .

Actualmente se tiene una gran cantidad de juegos al azar para los cuales se requiere realizar ciertos calculos de probabilidad  por ejemplo la lotería el melate el tris etc.

La historia nos muestra que la teoría de probabilidad dios sus primeros pasos en el siglo XVI con Geloramo Cardano y  Galileo Galilei posteriormente en el siglo XVII con Blaise Pascal Pierre de Fermat , Jean y Jacques Bernoulli (1654-1705), De Moivre (1667-1754) en el siglo XVIII Daniel bernoulli (1700-1782),Kart Friedrich Gauss (1777-1855) Siemon denis poisson (1781-1840) en el siglo XX A. Marcov, Chebyschev,Liapunov etc, pero quien sento las bases teóricas para formalizar el desarrollo de la teoria de las probabilidades fue el matemático ruso A. Kolmogorov en 1933 al introducir la teoria de la medida en el calculo de las probabilidades.

Durante todo el texto estaremos hablando de probabilidad, pero que podemos entender de esta ciencia.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD: 

Rama de las matemáticas que se ocupa para medir o determinar cuantitativamente la posibilidad  de que ocurra un determinado suceso.

Así veremos en el desarrollo del texto, principalmente en los 3 primeros capítulos, que en general, la probabilidad esta basada en el estudio de combinatoria, ampliándose al Calculo con el uso de las funciones

Actualmente la teoría de las probabilidades es una herramienta importante en la mayoría de las áreas de la ingeniería ciencias y administración de tal forma que realizar un estudio adecuado de la probabilidad es fundamental para el éxito de muchas compañías en particular las compañías de seguro ya que están evalúan las probabilidades de los sucesos que les interesan como por ejemplo

accidentes de coches, inundaciones, epidemias. mediante una minuciosa recopilación de datos experiencias que les permitan inferir dichas probabilidades con suficiente aproximación como para poder asignar las cuotas de manera justa, ademas de las compañías  de seguros tenemos aplicaciones a la medicina, meteorología, mercadotecnia, mediciones de predicciones de terremotos, comportamiento humano, finanzas.

DISTRIBUCION EXPONENCIAL (2026) Ejemplos

El tiempo Y que tarda en realizarse cierta tarea clave en la construccion de una casa es una variable aleatoria que tiene una distribucion exponencial con una media de 10 horas.

El costo C para completar esta tarea esta relacionado con Y mediante

C = 100 + 40Y + 3Y2

Encontrar el valor esperado y la varianza de C.


 f(y) = k e^(- k y) para y > 0

μ = ∫ k y e^(- k y) = 1/ k de 0 a infinito

μ = 10 ---> k = 0.1 ..........var(y) = 1/ k^2 = 1/ .01 = 100

El valor esperado de y^2

∫ .1y^2 e^( - .1y) = 200 de o a infinito

E(C) = 100+40 E(y) + 3 E(y^2)

E(C) = 100 + 40 (10) + 3 (200)

E(C) = 100 + 400 + 600 = 1100

Para la varianza me falta tiempo.

Var(C) = E ( C - E(C))^2

C - E(C) = 100 + 40 y + 3 y^2 - (100 + 40 E(y) + 3 E(y^2))

E(C - E(C))^2 =( 40 y + 3 y^2 - 40(10) + 3 (200) )^2

Var(C) = E(1000000 - 80000 y - 4400 y^2 + 240 y^3 + 9 y^4)

Var(C) = 1000000 -80000E(y) -4400E(y^2) + 240E(y^3) + 9E(y^4)

E(y^3)= ∫ .1y^3 e^( - .1y) = 6000 de o a infinito

E(y^4) = ∫ .1y^4 e^( - .1y) = 240000 de o a infinito

= 1000000 - 80000(10) - 4400(200) + 240(6000) + 9(240000)

Var(C) = 2 920 000

FRACCIONES

FRACCIÓN COMÚN: Es una expresión que representa una o varias partes de la unidad; también se le denomina "QUEBRADO".

Una fracción esta compuesta de dos números llamados términos de la fracción y separados entre si por medio de una lineal horizontal o diagonal.

El numero que va sobre la linea, se llama NUMERADOR

El que va por debajo de la linea, se llama DENOMINADOR

Ejemplo:

                     

DEFINICION DE NUMERADOR: Es el numero que indica cuantas unidades fraccionarias contiene la fracción.

DEFINICION DE DENOMINADOR: Es el numero que indica las partes iguales en que se ha dividido la unidad.

Las fracciones comunes se clasifican en fracción propia y fracción impropia.

FRACCIÓN PROPIA: Su valor es menor a la unidad.

Ejemplo:

                                                                       



FRACCIÓN IMPROPIA: Su valor es mayor o igual que la unidad.

Ejemplo:

                                                                           

NUMERO MIXTO: Se llama numero mixto al que esta formado por una parte entera y una fraccionaria. Para transformar fracciones impropias en números mixtos, solo es necesario realizar la división.

                                    EJERCICIOS RESUELTOS

👉     Problema 01:          😆

Transformar una fracción impropia a una mixta

               para transforma esta fracción impropia tenemos que hacer una división.

  Lo cual nos da como resultado la división de 5 entre 2 una fracción mixta que es 2 enteros 1 medio.

👉     Problema 02:          😆

Transformar un numero mixto a una fracción impropia

Para la solución de este problema hacemos la multiplicación  del  denominador del numero mixto que es 7 por el numero entero que es 3 mas la suma del numerador que es 5 todo esto entre 7 la cual nos da como resultado en la imagen siguiente: