DISTRIBUCION NORMAL (2022)

+ EJEMPLOS DE DISTRIBUCION NORMAL

  

👉 Problema 04: 😆 

Si una máquina embotelladora de vino envasa 770 c.c. por botella con una desviación típica de 25c.c , que probabilidad hay que envase botellas con 775 c.c? o con 725 c.c?

Al ser una distribución normal la probabilidad exacta de 775 y 725 es 0 al ser una función continua.

 

                            

                              
                                

Solución Inciso a)

Estandarizamos con:       

                                      

      

           Según las tablas.

Solución Inciso b)

Estandarizamos con:

                                      

      

EVENTOS

1-a dos pacientes d un hospital, un hombre y una mujer, se les has diagnosticado una infeccion.
los medicos pronostican que con el tratamiento la probabilidad de cura para el hombre es del 50% y para la mujer del 60%, si se considera las dos situaciones compltamente independientes calcular la probabilidad:

a. que los dos se curen.
b. que el hombre no supere la enfermedad.
c. que la mujer no se cure.
d. que ni el hombre ni la mujer se curen.

H --> Hombre
M --> Mujer

P(H) = 0.50
P(M) = 0.60

a) P(H)*P(M) = 0.50*0.60 = 0.30

b) 1-P(H) = 1-0.5 = 0.5

c) 1-P(M) = 1-0.6 = 0.4

d) (1-P(H)) * (1-P(M)) = (1-0.50)*(1-0.60) = 0.50*0.40 = 0.20

DISTRIBUCION BINOMIAL

1-En un estudio sobre el sector de hostelería de una determinada ciudad se ha detectado que la tasa de fraude en la contabilidad es de 0,07. Si F es el número de empresas que defraudan en una muestra de 100 empresas de hostelería:
Calcular la probabilidad de que F sea superior a 5.
Determinar la distribución asintótica de F.

INTERVALOS DE CONFIANZA

1-Se han medido los datos de consumo de energía eléctrica en las distintas sedes de un grupo de empresas. Los datos son los siguientes: 575, 488, 601, 444, 683, 485, 798, 561, 231.
Se supone que el consumo de energía eléctrica se distribuye según una ley normal de media 550 y desviación típica 150.
Calcular intervalos de confianza en los casos siguientes:
Para la media poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la varianza poblacional.
Para la varianza poblacional con niveles de significación del 5 % suponiendo conocida la media poblacional.

N es el numero de datos, en este caso 9

La media muestral es

Media=540.6667

La desviación muestral es

s=159.2255

a)

Si conocemos las varianza poblacional, (σ=150) el intervalo es

Media ± Z(1-alfa/2)*σ/√n

Para el 95% --> alfa=0.05 Z(1-alfa/2) = Z(0.975) = 1.96

El intervalo es

540.6667 ± 1.96*150/√9

540.6667 ± 98

(442.6667 , 638.6667) <-- 95="" br="" de="" del="" intervalo="" la="" media="">
b)

la varianza muestral es s²=159.2255² = 25352.75985


El intervalo del 95% es

(n-1)s² / X(1-alfa/2,n-1) ≤ σ² ≤ (n-1)s² / X(alfa/2,n-1)

Donde X(1-alfa/2,n-1) y X(alfa/2,n-1) son los valores criticos de la distribución chi-cuadrado.

En este caso

X(0.975,8) = 17.5346
X(0.025,8) = 2.1797

Por lo tanto el intervalo es

8*25352.75985 / 17.5346 ≤ σ² ≤ 25352.75985 / 2.1797

11566.9635 ≤ σ² ≤ 93050.4559

DISTRIBUCION NORMAL (2022)

+ EJEMPLOS DE DISTRIBUCION NORMAL

 

👉 Problema 05: 😆 

Se supone que en un determinado proceso productivo, interesa analizar la diferencia entre dos determinadas características X e Y que se distribuyen según leyes normales de medias 325 y 350 y desviaciones típicas 5 y 7, respectivamente. Ambas variables son independientes.
Se desea obtener la distribución de probabilidades de la variable diferencia y calcular la probabilidad de que esta diferencia sea inferior a 20.

La formula de la diferencia de dos normales es una normal con

Media : X-Y

varianza : Var(X)+Var(Y)

desviación : √(Var(X)+Var(Y))

Es decir

Media = 325-350 = -25

desviación = √(5²+7²) = √74 = 8.6023

es decir la diferencia sigue una N(-25 , 8.6023)

Para que la diferencia sea menor a 20

P(-20< X-Y <20 br="">
Estandarizamos con Z=(X-media)/desv

X-Y=20 --> Z=(20-(-25))/8.6023 = 5.2312

X-Y=-20 --> Z=(-20-(-25))/8.6023 = 0.5812

P(-20
P(Z<5 -="" .2312="" br="" p="">
1 - 0.7194 =

0.2806

DISTRIBUCION DE POISSON

1. las llamadas de servicio entran a un centro de manteniemiento de acuerdo con un proceso de poisson y en promedio entran 2.7 llamadas por minuto. encontrar la probabilidad de que:
a)no mas de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera
b)menos de 2 llamadas entren en un minutocualquiera
c)mas de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos

λ=2.7

P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!

a)

P(X<=4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=0) = exp(-2.7)*2.7^0/0! = 0.0672
P(X=1) = exp(-2.7)*2.7^1/1! = 0.1815
P(X=2) = exp(-2.7)*2.7^2/2! = 0.2450
P(X=3) = exp(-2.7)*2.7^3/3! = 0.2205
P(X=4) = exp(-2.7)*2.7^4/4! = 0.1488

P(X<=4) = 0.8629

b)

P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

P(X=0) = exp(-2.7)*2.7^0/0! = 0.0672
P(X=1) = exp(-2.7)*2.7^1/1! = 0.1815

P(X<2) = 0.2484

c)

λ=2.7 por minuto * 5 minutos --> λ=13.5

P(X>10) = 1-P(X<=10) = 1- P(X=0) - P(X=1) - ... - P(X=10)

P(X=0) = exp(-13.5)*13.5^0/0! = 0.000001
P(X=1) = exp(-13.5)*13.5^1/1! = 0.000018
P(X=2) = exp(-13.5)*13.5^2/2! = 0.000124
P(X=3) = exp(-13.5)*13.5^3/3! = 0.000562
P(X=4) = exp(-13.5)*13.5^4/4! = 0.001897
P(X=5) = exp(-13.5)*13.5^5/5! = 0.005123
P(X=6) = exp(-13.5)*13.5^6/6! = 0.011526
P(X=7) = exp(-13.5)*13.5^7/7! = 0.022229
P(X=8) = exp(-13.5)*13.5^8/8! = 0.037512
P(X=9) = exp(-13.5)*13.5^9/9! = 0.056268
P(X=10) = exp(-13.5)*13.5^10/10! = 0.07596

Por lo tanto

P(X>10) = 1-P(X<=10) = 1- P(X=0) - P(X=1) - ... - P(X=10) = 0.7888

P(X>10) = 0.7888

COMBINACION(2022) Ejemplos

1) diana tiene 12 libros pero en el estante solo caben 7 ¿de cuantas formas se pueden ordenar los libros en el estante?

Primero calculamos las combinaciones de 12 libros tomados de 7 en 7

C(12,7) = 12!/((12-7)!*7!) = 792 maneras de colocar los 7 libros

Pero cada una de estas maneras los libros el orden de los libros es diferente por lo que para cada manera hay 7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 maneras de ordenar los libros.

Por lo tanto las formas posibles son

792*5040 = 3991680 maneras diferentes de colocar 7 libros en un estante a partir de los 12 libros.

____

Hay una formula que permite expresar esto directamente : las variaciones con repetición:

VR(12,7) = 12!/(12-7)! = 3991680 como antes.

DISTRIBUCION BINOMIAL

1. En un sistema bancario, 10% de las veces se excede el tiempo promedio de atención al cliente. Para los siguientes 10 clientes encuentra:
a. La probabilidad de que al menos 6 excedan el tiempo promedio de atención.
b. Haya clientes que excedan el tiempo promedio de atención.
c. Más de dos y menos de 7 excedan este tiempo.
d. La probabilidad de que menos de 5 excedan el tiempo de atención.

1)

Es un caso de distribución binomial con

n=10
p=0.10

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

En este caso

P(X=x) = C(10,x) * 0.10^x * 0.90^(10-x)

a)

Debemos calcular P(X>=6) = 1- P(X<=5) = 1-P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3) - P(X=4) -P(X=5)

P(X=0) = C(10,0) * 0.10^0 * 0.90^(10-0) = 0.3487
P(X=1) = C(10,1) * 0.10^1 * 0.90^(10-1) = 0.3874
P(X=2) = C(10,2) * 0.10^2 * 0.90^(10-2) = 0.1937
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
P(X=5) = C(10,5) * 0.10^5 * 0.90^(10-5) = 0.0015

Por lo tanto P(X>=6) = 1-suma de las probabilidades anteriores =

1-0.9999 = 0.0001


b)

Debemos calcular P(X>1) = 1-P(X=0) =

1 - C(10,x) * 0.10^x * 0.90^(10-x) =

1 - 0.90^10 = 0.6513

c)

Debemos calcular P(2< X <7) =P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112
P(X=5) = C(10,5) * 0.10^5 * 0.90^(10-5) = 0.0015
P(X=6) = C(10,6) * 0.10^6 * 0.90^(10-6) = 0.0001


Por lo tanto P(2< X <7) = Suma probabilidades anteriores = 0.0702


d)

Debemos calcular P(X<5)

P(X<5)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)


P(X=0) = C(10,0) * 0.10^0 * 0.90^(10-0) = 0.3487
P(X=1) = C(10,1) * 0.10^1 * 0.90^(10-1) = 0.3874
P(X=2) = C(10,2) * 0.10^2 * 0.90^(10-2) = 0.1937
P(X=3) = C(10,3) * 0.10^3 * 0.90^(10-3) = 0.0574
P(X=4) = C(10,4) * 0.10^4 * 0.90^(10-4) = 0.0112

Por lo tanto

P(X<5) = suma de las probabilidades anteriores = 0.9984