1- Con el objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente cierta compañía acostumbra determinar el número de manchas en la superficie, considerando el lente defectuoso, si 3 o más de tales manchas, asperezas y otro tipo de defectos aparecen en el. Si el número de manchas en una superficie de 1cm^2 sigue una distribucíón de Poisson con una tasa media de 2 asperezas por cm^2.
1.- Calcula la probabilidad de que un lente redondo con un diámetro de 1cm se le cataloge como bueno?
Tasa media = 2 manchas por cm²
Una lente redonda de diametro 1, tiene un radio de 0.5,la superfice de un circulo es
S=πr²
S=3.141592654*0.5² = 0.7854 cm²
Si la tasa media es de 2 manchas/cm² en una superficie de 0.7854 cm² se esperan de promedio 2*0.7854 = 1.5716 manchas por cada 0.7854 cm² (lente de 1 cm de diametro), es decir el parametro λ tomará el valor de
λ=1.5716
Si se considera defectuoso si hay 3 o más manchas entonces , para que sea bueno debe tenor menos de 3 manchas es decir 0,1,o 2 manchas.
Es decir tenemos que calcular la probabilidad
P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
La formula de Poisson es
P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!
P(X=x) = exp(-1.5716)*1.5716^x/x!
P(X=0) = exp(-1.5716)*1.5716^0/0! = 0.2077
P(X=1) = exp(-1.5716)*1.5716^1/1! = 0.3264
P(X=2) = exp(-1.5716)*1.5716^2/2! = 0.2565
0.2077 + 0.3264 + 0.2565 = 0.7907
Por lo tanto P(X<3) = 0.7907 y la probabilidad de que la lente se catalogue como correcta es de
0.7907 = 79.07%
lunes, 24 de mayo de 2010
DISTRIBUCION POISSON (2022) Ejemplos
1-Si el número de coches que lleguan a un estacionamiento es de 8 por hora y sus llegadas siguen el proceso de Poisson.
1.-¿Cuál es la probabilidad de que en un período de 10 minutos lleguen al estacionamiento?
a) Entre 3 y 6 (inclusive) automóviles?
b) Más de 2 automóviles?
λ=8 coches por hora,
1 hora =60 mintuos , tiene 6 periodos de 10 minutos, por lo tanto el promedio de coches por cada 10 minutos es
λ=8/6 = 1.3333
P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!
P(X=x) = exp(-1.3333)*1.3333^x/x!
a)
P(3<=X<=6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)
P(X=3) = exp(-1.3333)*1.3333^3/3! = 0.1041
P(X=4) = exp(-1.3333)*1.3333^4/4! = 0.0347
P(X=5) = exp(-1.3333)*1.3333^5/5! = 0.0093
P(X=6) = exp(-1.3333)*1.3333^6/6! = 0.0021
Por lo tanto sumando las probabilidades , P(3<=X<=6) = 0.1502
b)
P(X>2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1)
P(X=0) = exp(-1.3333)*1.3333^0/0! = 0.2636
P(X=1) = exp(-1.3333)*1.3333^1/1! = 0.3515
P(X>2) = 1-0.2636-0.3515 = 0.3849
1.-¿Cuál es la probabilidad de que en un período de 10 minutos lleguen al estacionamiento?
a) Entre 3 y 6 (inclusive) automóviles?
b) Más de 2 automóviles?
λ=8 coches por hora,
1 hora =60 mintuos , tiene 6 periodos de 10 minutos, por lo tanto el promedio de coches por cada 10 minutos es
λ=8/6 = 1.3333
P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!
P(X=x) = exp(-1.3333)*1.3333^x/x!
a)
P(3<=X<=6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)
P(X=3) = exp(-1.3333)*1.3333^3/3! = 0.1041
P(X=4) = exp(-1.3333)*1.3333^4/4! = 0.0347
P(X=5) = exp(-1.3333)*1.3333^5/5! = 0.0093
P(X=6) = exp(-1.3333)*1.3333^6/6! = 0.0021
Por lo tanto sumando las probabilidades , P(3<=X<=6) = 0.1502
b)
P(X>2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1)
P(X=0) = exp(-1.3333)*1.3333^0/0! = 0.2636
P(X=1) = exp(-1.3333)*1.3333^1/1! = 0.3515
P(X>2) = 1-0.2636-0.3515 = 0.3849
HIPOTESIS
1- De acuerdo con las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, los alumnos de segundo grado de secundaria deberían promediar 73.2 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 alumnos de segundo grado de secundaria seleccionados al azar de cierto distrito escolar promedian 76.7, (a) pruebe la hipótesis nula m = 73.2 contra la hipótesis alternativa m > 73.2 en el nivel 0.01 de significancia.
Se calcula el estadístico
Z=(X-media)/(desv/√n)
donde
X=76.7 <-- 2.6521="" calculamos="" desv="8.6" el="" media="73.2" muestral="" n="45" p-valor="" p="" z="(76.6-73.2)">2.6521) = 1-P(Z<2 .6521="" 9960=" 0.0040" m="73.2">73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.
Se calcula el estadístico
Z=(X-media)/(desv/√n)
donde
X=76.7 <-- 2.6521="" calculamos="" desv="8.6" el="" media="73.2" muestral="" n="45" p-valor="" p="" z="(76.6-73.2)">2.6521) = 1-P(Z<2 .6521="" 9960=" 0.0040" m="73.2">73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.
HIPOTESIS
1- De acuerdo con las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, los alumnos de segundo grado de secundaria deberían promediar 73.2 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 alumnos de segundo grado de secundaria seleccionados al azar de cierto distrito escolar promedian 76.7, (a) pruebe la hipótesis nula m = 73.2 contra la hipótesis alternativa m > 73.2 en el nivel 0.01 de significancia.
Se calcula el estadístico
Z=(X-media)/(desv/√n)
donde
X=76.7 <-- br="" media="" muestral="">media=73.2
desv=8.6
n=45
Z=(76.6-73.2) / (8.6/√45) = 2.6521
Calculamos el p-valor
P(Z>2.6521) = 1-P(Z<2 -="" .6521="" 0.9960="0.0040<br" 1="">
Como el p-valor 0.0040 es menor que la significancia 0.01, entonces rechazamos la hipotesis nula m=73.2 y aceptamos la alternativa m>73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.
Se calcula el estadístico
Z=(X-media)/(desv/√n)
donde
X=76.7 <-- br="" media="" muestral="">media=73.2
desv=8.6
n=45
Z=(76.6-73.2) / (8.6/√45) = 2.6521
Calculamos el p-valor
P(Z>2.6521) = 1-P(Z<2 -="" .6521="" 0.9960="0.0040<br" 1="">
Como el p-valor 0.0040 es menor que la significancia 0.01, entonces rechazamos la hipotesis nula m=73.2 y aceptamos la alternativa m>73.2 y concluimos que la media es mayor que 73.2 con una significación de 0.01.
EJERCICIOS
1- A un dependiente de un autolavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12. ¼, ¼, 1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo específico.
xi --- pi
5 --- 1/12
7 --- 1/12
9 --- 1/4
11 --- 1/4
13 --- 1/6
17 --- 1/6
E(X)=Suma(xi*pi) =
5*1/12 + 7*1/12 + 9*1/4 + 11*1/4 + 13*1/6 + 17*1/6 = 11
La ganancia esperada es $11
2- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a.- Determine la función de probabilidad de X. b.- ¿Cual es el valor de P ( X ≤ 1)?
2-
La probabilidad de abrir a la primera es 1/5
La probabilidad de abrir a la segunda es la probabilidad de no abrir - abrir
4/5 * 1/4 =1/5
ya que primero tenemos 5 llaves de las que 4 no abren 4/5 y despues para la segunda tenemos 4 de las que 1 abre el candado 1/4
de la misma manera para
3 intentos --> 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5
4 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5
5 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5
P(X)=1/5
P(X<=1) = P(X=1) = 1/5
3-Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la distribución de probabilidad para la variable X que representa el numero de balotas verdes.
3)
p=2/(2+4) = 1/3 (probabilidad de balotas verdes)
la distribución de X es una binomial de n=3 y p=1/3
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
P(X=x) = C(3,x) * (1/3)^x * 2/3)^(3-x)
xi --- pi
5 --- 1/12
7 --- 1/12
9 --- 1/4
11 --- 1/4
13 --- 1/6
17 --- 1/6
E(X)=Suma(xi*pi) =
5*1/12 + 7*1/12 + 9*1/4 + 11*1/4 + 13*1/6 + 17*1/6 = 11
La ganancia esperada es $11
2- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a.- Determine la función de probabilidad de X. b.- ¿Cual es el valor de P ( X ≤ 1)?
2-
La probabilidad de abrir a la primera es 1/5
La probabilidad de abrir a la segunda es la probabilidad de no abrir - abrir
4/5 * 1/4 =1/5
ya que primero tenemos 5 llaves de las que 4 no abren 4/5 y despues para la segunda tenemos 4 de las que 1 abre el candado 1/4
de la misma manera para
3 intentos --> 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5
4 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5
5 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5
P(X)=1/5
P(X<=1) = P(X=1) = 1/5
3-Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la distribución de probabilidad para la variable X que representa el numero de balotas verdes.
3)
p=2/(2+4) = 1/3 (probabilidad de balotas verdes)
la distribución de X es una binomial de n=3 y p=1/3
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
P(X=x) = C(3,x) * (1/3)^x * 2/3)^(3-x)
DISTRIBUCION BINOMIAL
Un jugador de basketball, anota 7 de cada 10 tiros libresque ejecuta. Si durante un partido, ejecuta 9 tiros libros hallar la probabilidad:
que falle 3 tiros libres
que anote todos
que anote exactamente 5 tiros
que falle 3 tiros libres
que anote todos
que anote exactamente 5 tiros
SUCESOS
SUCESOS: Es un elemento que forma parte del eapacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
EJERCICIOS RESUELTOS
¿la probabilidad de que un dia cualquiera llueva, es del 20 %?¿cual es la probabilidad de que llueva?¿que no llueva?
Tenemos el suceso:
A : Llueva
P(A)=20% =0.20
La probabildiad que no llueva es la probabilidad contraria
P(No llueva) = 1-P(A)=1-0.20 = 0.80 --> 80%
EJERCICIOS RESUELTOS
¿la probabilidad de que un dia cualquiera llueva, es del 20 %?¿cual es la probabilidad de que llueva?¿que no llueva?
Tenemos el suceso:
A : Llueva
P(A)=20% =0.20
La probabildiad que no llueva es la probabilidad contraria
P(No llueva) = 1-P(A)=1-0.20 = 0.80 --> 80%
INTERVALO DE CONFIANZA
1- la division de creditos deu n banco comercial grande desea estimar un nivel de confianza del 99% la proporcion de sus creditos que estan en mora. Si el ancho del intervalo es de 7% ¿cuantos creditos deben revisarse?¿Cual es el error tolerable?
Confianza 99% --> Z=2.58
Ancho del intervalo 7% = 0.07 --> d=0.07/2 = 0.035
p es desconocida, tomamos p=0.5
n>=Z²p(1-p)/d²
n>=2.58²*0.5*0.5/0.035² = 1358.45
redondeando a enteros,
n>=1359
Es decir necesitamos un minimo de 1359 creditos para revisar.
Confianza 99% --> Z=2.58
Ancho del intervalo 7% = 0.07 --> d=0.07/2 = 0.035
p es desconocida, tomamos p=0.5
n>=Z²p(1-p)/d²
n>=2.58²*0.5*0.5/0.035² = 1358.45
redondeando a enteros,
n>=1359
Es decir necesitamos un minimo de 1359 creditos para revisar.
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