1- Con el objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente cierta compañía acostumbra determinar el número de manchas en la superficie, considerando el lente defectuoso, si 3 o más de tales manchas, asperezas y otro tipo de defectos aparecen en el. Si el número de manchas en una superficie de 1cm^2 sigue una distribucíón de Poisson con una tasa media de 2 asperezas por cm^2.
1.- Calcula la probabilidad de que un lente redondo con un diámetro de 1cm se le cataloge como bueno?
Tasa media = 2 manchas por cm²
Una lente redonda de diametro 1, tiene un radio de 0.5,la superfice de un circulo es
S=πr²
S=3.141592654*0.5² = 0.7854 cm²
Si la tasa media es de 2 manchas/cm² en una superficie de 0.7854 cm² se esperan de promedio 2*0.7854 = 1.5716 manchas por cada 0.7854 cm² (lente de 1 cm de diametro), es decir el parametro λ tomará el valor de
λ=1.5716
Si se considera defectuoso si hay 3 o más manchas entonces , para que sea bueno debe tenor menos de 3 manchas es decir 0,1,o 2 manchas.
Es decir tenemos que calcular la probabilidad
P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
La formula de Poisson es
P(X=x) = exp(-λ)*λ^x/x!
P(X=x) = exp(-1.5716)*1.5716^x/x!
P(X=0) = exp(-1.5716)*1.5716^0/0! = 0.2077
P(X=1) = exp(-1.5716)*1.5716^1/1! = 0.3264
P(X=2) = exp(-1.5716)*1.5716^2/2! = 0.2565
0.2077 + 0.3264 + 0.2565 = 0.7907
Por lo tanto P(X<3) = 0.7907 y la probabilidad de que la lente se catalogue como correcta es de
0.7907 = 79.07%
