INTEGRALES

1-∫ ln(1+x^2) dx

The formula is
∫uv dx = u∫vdx - ∫[dudx*∫vdx] dx
In the given function, we take ln(1 + x^2) as u and 1 as v
=> Integral
= ln(1 + x^2) ∫1 dx - ∫[d/dx ln(1 + x^2) * ∫1 dx] dx
= x ln(1 + x^2) - ∫[2x/(1 + x^2) * x] dx
= x ln(1 + x^2) - 2∫(x^2 + 1 - 1) / (1 + x^2) dx
= x ln(1 + x^2) - 2 [∫dx - ∫dx / (1 + x^2)
= x ln(1 + x^2) - 2x + tanֿ¹x + c.


2-∫ sen^4 x cos^2 x dx

eescribámosla como:

∫ sen²x (sen²x cos²x) dx =

recordemos la fórmula del ángulo doble:

sen(2x) = 2senx cosx → senx cosx = [sen(2x)]/2 → sen²x cos²x = (senx cosx)² =
[sen²(2x)]/4

además, recordemos la fórmula del ángulo medio:

sen²(x/2) = (1 - cosx)/2 → sen²x = [1 - cos(2x)]/2

luego la integral se vuelve:

∫ sen²x (sen²x cos²x) dx = ∫ {[1 - cos(2x)]/2} {[sen²(2x)]/4} dx =

(1/8) ∫ [1 - cos(2x)] sen²(2x) dx =

desarrollando, obtenemos:

(1/8) ∫ [sen²(2x) - sen²(2x) cos(2x)] dx =

qué se parte en:

(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/8) ∫ sen²(2x) cos(2x) dx =

dividámos y multipliquémos la segunda integral por 2 para conseguir 2cos(2x)
que es la derivada de sen(2x):

(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/8)(1/2) ∫ sen²(2x) [2cos(2x)] dx =

(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16) ∫ sen²(2x) d[sen(2x)] =

(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16) [1/(2+1)] sen^(2+1)(2x) =

(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/16)(1/3) sen³(2x) =

(1/8) ∫ sen²(2x) dx - (1/48)sen³(2x) =

recordemos de nuevo la fórmula del ángulo medio:

sen²(x/2) = (1 - cosx)/2 → sen²(2x) = [1 - cos(4x)]/2

obteniendo:

(1/8) ∫ {[1 - cos(4x)]/2} dx - (1/48)sen³(2x) =

(1/16) ∫ [1 - cos(4x)] dx - (1/48)sen³(2x) =

(partiendo)

(1/16) ∫ dx - (1/16) ∫ cos(4x) dx - (1/48)sen³(2x) =

(1/16)x - (1/16) (1/4)sen(4x) - (1/48)sen³(2x) + c =

concluyendo con:

(1/16)x - (1/64)sen(4x) - (1/48)sen³(2x) + c