Distribución de Poisson

 Solución del Ejercicio:

 Con el objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente una cierta compañia acostumbra a determinar el numero de manchas en la superficie, considerando al lente defectuoso, si 3 o mas de tales manchas, asperezas y otro tipo de defectos aparecen en el. si el numero de manchas en una superficie de 1 cm cuadrado sigue una distribución de poisson con una taza media de 2 asperezas por cm cuadrado 

a) calcule la probabilidad de que un lente de 1 cm cuadrado se le catalogue como bueno.

 b) calcule la probabilidad de que un lente redondo con un diámetro de 1 cm se le catalogue como bueno.

La condición del problema indica que un lente se considera defectuoso si tiene \(3\) o más manchas (\(X \geq 3\)). Por lo tanto, un lente se considerará bueno si tiene \(0, 1\) o \(2\) manchas (\(X < 3\)).
\(P(\text{Bueno}) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\) [1]

a) Lente de \(1 \, cm^2\)

La tasa media es \(\mu = 2\) asperezas por \(cm^{2}\).

• \(P(X=0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = 0.1353\)
• \(P(X=1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 0.2707\)
• \(P(X=2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = 0.2707\)

\(P(\text{Bueno}) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = \mathbf{0.6767}\) (o \(67.67\%\)).

b) Lente redondo con diámetro de \(1 \, cm\)

Primero calculamos el área del lente: \(A = \pi \cdot r^2\). El radio es \(r = 0.5 \, cm\), entonces \(A = \pi \cdot (0.5)^2 \approx 0.7854 \, cm^2\).
La nueva tasa media es \(\mu = 2 \text{ manchas/cm}^2 \times 0.7854 \, cm^2 = 1.5708\).

• \(P(X=0) = \frac{e^{-1.5708} \cdot 1.5708^0}{0!} \approx 0.2079\)
• \(P(X=1) = \frac{e^{-1.5708} \cdot 1.5708^1}{1!} \approx 0.3265\)
• \(P(X=2) = \frac{e^{-1.5708} \cdot 1.5708^2}{2!} \approx 0.2564\)

\(P(\text{Bueno}) = 0.2079 + 0.3265 + 0.2564 = \mathbf{0.7908}\) (o \(79.08\%\)).